Q35. Um bolinho de massa movendo-se para a direita, a
, colide com outro movendo-se para a esquerda a 2
. Ambos tem
de massa. Calcular as velocidades finais (a) se a colisão for perfeitamente inelástica e (b) se a colisão for elástica.
Passo 1
O enunciado dá duas bolinhas (vou chamá-las de bola 1 e bola 2) com as seguintes informações:
,
(movendo-se para a direita),
,
(movendo-se para a esquerda).
O que se pede: calcular as velocidades finais nos dois casos:
(a) colisão perfeitamente inelástica (as bolas ficam presas e seguem juntas),
(b) colisão elástica unidimensional (conserva-se momento e energia cinética).
O que se pede: calcular as velocidades finais nos dois casos:
(a) colisão perfeitamente inelástica (as bolas ficam presas e seguem juntas),
(b) colisão elástica unidimensional (conserva-se momento e energia cinética).
Passo 2
Conservação do momento linear (princípio fundamental que precisamos aqui): em colisões isoladas a soma dos momentos antes é igual à soma depois. A fórmula geral é
onde
são as massas,
as velocidades iniciais e
as velocidades finais.
Vou aplicar isso primeiro ao caso perfeitamente inelástico.
Vou aplicar isso primeiro ao caso perfeitamente inelástico.
Passo 3
Colisão perfeitamente inelástica: as duas massas ficam presas e seguem com uma velocidade comum
. A conservação do momento dá
Substituindo os valores (note que estou usando os dados do enunciado):
Calcule o numerador:
logo
Denominador:
Então
Interpretação:
significa que o conjunto segue para a direita com
. Esse é o resultado do item (a).
Passo 4
Colisão elástica unidimensional: aqui temos duas leis que valem simultaneamente — conservação do momento (já vista) e conservação da energia cinética:
Resolver essas duas equações em geral dá fórmulas conhecidas para
e
. Uma forma direta (fórmulas padrão da colisão elástica 1D) é:
Aqui é importante entender o que cada termo faz: a primeira fração multiplica a velocidade própria (ajustada pela diferença de massas) e a segunda fração mistura a velocidade da outra massa. Agora vou aplicar essas fórmulas ao caso com
.
Passo 5
No nosso problema
. Calcule as frações:
Substituindo nas fórmulas obtém-se a propriedade prática (muito útil na prova): quando as massas são iguais, as velocidades se trocam:
Agora substitua os valores numéricos
e
:
Interpretação: a bola que estava indo para a direita com
sai para a direita com
? Atenção: aqui as bolas trocam suas velocidades, ou seja, a primeira bola (inicialmente +5) passa a ter a velocidade que a segunda tinha (que era
), então a primeira agora segue para a esquerda a
; a segunda passa a ter
. Isso satisfaz tanto conservação do momento quanto da energia cinética — se quiser, podemos verificar numericamente que o momento total inicial e final e a energia cinética são iguais (omito a conta detalhada por ser repetição, mas já está coerente com a troca de velocidades).
Passo 6
Dica rápida para a prova (motivação): memorize que, em colisão elástica 1D com massas iguais, as velocidades se trocam — é rápido de aplicar. Para colisão perfeitamente inelástica, lembre-se da média ponderada pelo momento (fórmula do centro de massa) que usamos no Passo 3. Você está indo bem — respira fundo e confia nas fórmulas!
Resposta
(a)
(para a direita)\n(b)