Q35. Um bolinho de massa movendo-se para a direita, a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, colide com outro movendo-se para a esquerda a 2 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Ambos tem 0,3 \mathrm{~kg} de massa. Calcular as velocidades finais (a) se a colisão for perfeitamente inelástica e (b) se a colisão for elástica.

Passo 1

O enunciado dá duas bolinhas (vou chamá-las de bola 1 e bola 2) com as seguintes informações:
m_1=0,3\\ \mathrm{kg}, v_{1i}=+5\\ \mathrm{m/s} (movendo-se para a direita),
m_2=0,3\\ \mathrm{kg}, v_{2i}=-2\\ \mathrm{m/s} (movendo-se para a esquerda).
O que se pede: calcular as velocidades finais nos dois casos:
(a) colisão perfeitamente inelástica (as bolas ficam presas e seguem juntas),
(b) colisão elástica unidimensional (conserva-se momento e energia cinética).

Passo 2

Conservação do momento linear (princípio fundamental que precisamos aqui): em colisões isoladas a soma dos momentos antes é igual à soma depois. A fórmula geral é
m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f},
onde m_1,m_2 são as massas, v_{1i},v_{2i} as velocidades iniciais e v_{1f},v_{2f} as velocidades finais.
Vou aplicar isso primeiro ao caso perfeitamente inelástico.

Passo 3

Colisão perfeitamente inelástica: as duas massas ficam presas e seguem com uma velocidade comum v_f. A conservação do momento dá
m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1+m_2)\,v_f.
Substituindo os valores (note que estou usando os dados do enunciado):
0,3\cdot 5 + 0,3\cdot(-2) = (0,3+0,3)\,v_f.
Calcule o numerador:
0,3\cdot 5 = 1,5,\qquad 0,3\cdot(-2) = -0,6,
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1,5-0,6 = 0,9.
Denominador:
0,3+0,3 = 0,6.
Então
v_f = \frac{0,9}{0,6} = 1,5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: v_f>0 significa que o conjunto segue para a direita com 1,5\\ \mathrm{m/s}. Esse é o resultado do item (a).

Passo 4

Colisão elástica unidimensional: aqui temos duas leis que valem simultaneamente — conservação do momento (já vista) e conservação da energia cinética:
\frac{1}{2}m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2f}^2.
Resolver essas duas equações em geral dá fórmulas conhecidas para v_{1f} e v_{2f}. Uma forma direta (fórmulas padrão da colisão elástica 1D) é:
v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v_{1i}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}\,v_{2i},
v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}\,v_{1i}+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\,v_{2i}.
Aqui é importante entender o que cada termo faz: a primeira fração multiplica a velocidade própria (ajustada pela diferença de massas) e a segunda fração mistura a velocidade da outra massa. Agora vou aplicar essas fórmulas ao caso com m_1=m_2.

Passo 5

No nosso problema m_1=m_2=0,3\\ \mathrm{kg}. Calcule as frações:
\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}=\frac{0,3-0,3}{0,3+0,3}=0,
\frac{2m_2}{m_1+m_2}=\frac{2\cdot 0,3}{0,6}=1,
\frac{2m_1}{m_1+m_2}=1,
\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}=0.
Substituindo nas fórmulas obtém-se a propriedade prática (muito útil na prova): quando as massas são iguais, as velocidades se trocam:
v_{1f}=0\cdot v_{1i}+1\cdot v_{2i}=v_{2i},
v_{2f}=1\cdot v_{1i}+0\cdot v_{2i}=v_{1i}.
Agora substitua os valores numéricos v_{1i}=+5\\ \mathrm{m/s} e v_{2i}=-2\\ \mathrm{m/s}:
v_{1f}=v_{2i}=-2\\ \mathrm{m/s},
v_{2f}=v_{1i}=+5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a bola que estava indo para a direita com 5\\ \mathrm{m/s} sai para a direita com 5\\ \mathrm{m/s}? Atenção: aqui as bolas trocam suas velocidades, ou seja, a primeira bola (inicialmente +5) passa a ter a velocidade que a segunda tinha (que era -2), então a primeira agora segue para a esquerda a -2\\ \mathrm{m/s}; a segunda passa a ter +5\\ \mathrm{m/s}. Isso satisfaz tanto conservação do momento quanto da energia cinética — se quiser, podemos verificar numericamente que o momento total inicial e final e a energia cinética são iguais (omito a conta detalhada por ser repetição, mas já está coerente com a troca de velocidades).

Passo 6

Dica rápida para a prova (motivação): memorize que, em colisão elástica 1D com massas iguais, as velocidades se trocam — é rápido de aplicar. Para colisão perfeitamente inelástica, lembre-se da média ponderada pelo momento (fórmula do centro de massa) que usamos no Passo 3. Você está indo bem — respira fundo e confia nas fórmulas!

Resposta

(a) v_f=1,5\\ \mathrm{m/s} (para a direita)\n(b) v_{1f}=-2\\ \mathrm{m/s},\quad v_{2f}=+5\\ \mathrm{m/s}

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