Um bolinho de massa movendo-se para a direita, a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, colide com outro movendo-se para a esquerda, a 2 \mathrm{m} / \mathrm{s}\(. Ambos têm0,3 \mathrm{~kg}$ de massa. Calcular as velocidades finais
Repetir o problema acima admitindo que o segundo bolinho tem a massa de 0,5 \mathrm{~kg} e move-se para a direita a 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.)
Passo 1
O enunciado dá duas situações (duas colisões) e pede as velocidades finais de cada bolinho em cada situação.
Dados da situação 1:
Massa do bolinho 1: m_1=0,3\\ \mathrm{kg}.
Velocidade inicial do bolinho 1: u_1=+5\\ \mathrm{m/s} (para a direita).
Massa do bolinho 2: m_2=0,3\\ \mathrm{kg}.
Velocidade inicial do bolinho 2: u_2=-2\\ \mathrm{m/s} (para a esquerda).
Pergunta: calcular as velocidades finais v_1 e v_2 após a colisão.
Dados da situação 2 (repetição do problema com mudança):
Massa do bolinho 1: m_1=0,3\\ \mathrm{kg} (mantida).
Velocidade inicial do bolinho 1: u_1=+5\\ \mathrm{m/s} (mantida).
Massa do bolinho 2: m_2=0,5\\ \mathrm{kg} (alterada).
Velocidade inicial do bolinho 2: u_2=+100\\ \mathrm{m/s} (para a direita).
Pergunta: calcular as velocidades finais v_1 e v_2 nessa nova situação.
Passo 2
Primeiro esclarecimento importante (assunção necessária): vou assumir que a colisão é elástica (ou seja, não há perda de energia cinética na colisão). Isso é padrão em muitos exercícios desse tipo — se a colisão fosse inelástica precisaríamos outra informação (por exemplo coeficiente de restituição) e o resultado seria diferente. Com colisão elástica temos duas leis válidas:
Conservação da quantidade de movimento (momento linear):
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2.
Aqui m_1,m_2 são as massas; u_1,u_2 as velocidades antes da colisão; v_1,v_2 as velocidades depois da colisão. A equação diz que a soma dos momentos (produto massa × velocidade) antes é igual à soma depois.
Ou seja, a energia cinética total antes é igual à total depois.
Essas duas equações formam um sistema para as incógnitas v_1 e v_2. Há um truque muito útil para colisões elásticas unidimensionais: a velocidade relativa inverte de sinal na colisão. Formalmente, pode-se mostrar a partir das equações acima que
u_1 - u_2 = -(v_1 - v_2).
Vou demonstrar essa relação de forma simples: subtraindo duas vezes a equação da energia cinética (sem os \tfrac12) da equação do momento multiplicada por uma combinação adequada, ou mais diretamente reescrevendo a conservação de energia como diferença quadrática e fatorando, obtém-se a relação acima. Essa relação é útil porque transforma a segunda equação não-linear (em quadrado) numa equação linear em v_1 e v_2 quando combinada com a conservação do momento.
Passo 3
Agora vamos usar as duas equações em forma conveniente e resolver o sistema. As equações são:
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \tag{1}
u_1 - u_2 = -(v_1 - v_2). \tag{2}
Da equação (2) temos
v_1 - v_2 = -(u_1 - u_2). \tag{2'}
Agora resolvemos as equações lineares (1) e (2'). Uma maneira sistemática é eliminar v_2. Da (2'):