Um bolinho de massa movendo-se para a direita, a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, colide com outro movendo-se para a esquerda, a 2 \mathrm{m} / \mathrm{s}\(. Ambos têm0,3 \mathrm{~kg}$ de massa. Calcular as velocidades finais
Repetir o problema acima admitindo que o segundo bolinho tem a massa de 0,5 \mathrm{~kg} e move-se para a direita a 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.)

Passo 1

O enunciado dá duas situações (duas colisões) e pede as velocidades finais de cada bolinho em cada situação.
Dados da situação 1:
  • Massa do bolinho 1: m_1=0,3\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do bolinho 1: u_1=+5\\ \mathrm{m/s} (para a direita).
  • Massa do bolinho 2: m_2=0,3\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do bolinho 2: u_2=-2\\ \mathrm{m/s} (para a esquerda).
    Pergunta: calcular as velocidades finais v_1 e v_2 após a colisão.
Dados da situação 2 (repetição do problema com mudança):
  • Massa do bolinho 1: m_1=0,3\\ \mathrm{kg} (mantida).
  • Velocidade inicial do bolinho 1: u_1=+5\\ \mathrm{m/s} (mantida).
  • Massa do bolinho 2: m_2=0,5\\ \mathrm{kg} (alterada).
  • Velocidade inicial do bolinho 2: u_2=+100\\ \mathrm{m/s} (para a direita).
    Pergunta: calcular as velocidades finais v_1 e v_2 nessa nova situação.

Passo 2

Primeiro esclarecimento importante (assunção necessária): vou assumir que a colisão é elástica (ou seja, não há perda de energia cinética na colisão). Isso é padrão em muitos exercícios desse tipo — se a colisão fosse inelástica precisaríamos outra informação (por exemplo coeficiente de restituição) e o resultado seria diferente. Com colisão elástica temos duas leis válidas:
  1. Conservação da quantidade de movimento (momento linear):
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2.
Aqui m_1,m_2 são as massas; u_1,u_2 as velocidades antes da colisão; v_1,v_2 as velocidades depois da colisão. A equação diz que a soma dos momentos (produto massa × velocidade) antes é igual à soma depois.
  1. Conservação da energia cinética:
\tfrac{1}{2}m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 u_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2.
Ou seja, a energia cinética total antes é igual à total depois.
Essas duas equações formam um sistema para as incógnitas v_1 e v_2. Há um truque muito útil para colisões elásticas unidimensionais: a velocidade relativa inverte de sinal na colisão. Formalmente, pode-se mostrar a partir das equações acima que
u_1 - u_2 = -(v_1 - v_2).
Vou demonstrar essa relação de forma simples: subtraindo duas vezes a equação da energia cinética (sem os \tfrac12) da equação do momento multiplicada por uma combinação adequada, ou mais diretamente reescrevendo a conservação de energia como diferença quadrática e fatorando, obtém-se a relação acima. Essa relação é útil porque transforma a segunda equação não-linear (em quadrado) numa equação linear em v_1 e v_2 quando combinada com a conservação do momento.

Passo 3

Agora vamos usar as duas equações em forma conveniente e resolver o sistema. As equações são:
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \tag{1}
u_1 - u_2 = -(v_1 - v_2). \tag{2}
Da equação (2) temos
v_1 - v_2 = -(u_1 - u_2). \tag{2'}
Agora resolvemos as equações lineares (1) e (2'). Uma maneira sistemática é eliminar v_2. Da (2'):
v_2 = v_1 + u_1 - u_2.
Substituindo em (1):
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2\bigl(v_1 + u_1 - u_2\bigr).
Agrupando termos em v_1:
m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v_1 + m_2(u_1 - u_2).
Isolando v_1:
v_1 = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2 - m_2(u_1 - u_2)}{m_1 + m_2}.
Simplificando o numerador:
m_1 u_1 + m_2 u_2 - m_2 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 - m_2)u_1 + 2 m_2 u_2.
Portanto chegamos à fórmula padrão:
v_1 = \frac{(m_1 - m_2)u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2}.
De modo análogo (ou trocando índices) obtemos:
v_2 = \frac{2 m_1 u_1 + (m_2 - m_1)u_2}{m_1 + m_2}.
Essas fórmulas dão diretamente as velocidades finais em colisão elástica unidimensional. Explico o que cada termo significa:
  • O denominador m_1+m_2 normaliza pela massa total.
  • Os coeficientes (m_1-m_2) e (m_2-m_1) mostram a influência da diferença de massas.
  • Os termos com 2m_2 e 2m_1 representam a transferência de velocidade entre os corpos.

Passo 4

Aplicando às condições da situação 1:
  • m_1=0,3, u_1=+5.
  • m_2=0,3, u_2=-2.
Como m_1=m_2, há uma regra muito prática: em colisão elástica de duas massas iguais em uma dimensão, as velocidades simplesmente se trocam. Ou seja:
v_1 = u_2,\qquad v_2 = u_1.
Isso ocorre porque, nas fórmulas acima, se m_1=m_2 então (m_1-m_2)=0 e 2m_2/(m_1+m_2)=1, etc.
Portanto para o caso 1:
v_1 = u_2 = -2\\ \mathrm{m/s},
v_2 = u_1 = +5\\ \mathrm{m/s}.
Vou fazer uma rápida verificação de conservação do momento para conferir: momento inicial
m_1 u_1 + m_2 u_2 = 0,3\cdot 5 + 0,3\cdot(-2) = 1,5 - 0,6 = 0,9\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
momento final
0,3\cdot(-2) + 0,3\cdot 5 = -0,6 + 1,5 = 0,9\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
ok.

Passo 5

Aplicando às condições da situação 2 com as fórmulas gerais:
  • m_1=0,3, u_1=+5.
  • m_2=0,5, u_2=+100.
Calcule o denominador:
m_1 + m_2 = 0,3 + 0,5 = 0,8.
Calcule v_1 pela fórmula
v_1 = \frac{(m_1 - m_2)u_1 + 2 m_2 u_2}{m_1 + m_2}.
Os coeficientes:
\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{0,3 - 0,5}{0,8} = \frac{-0,2}{0,8} = -0,25,
\frac{2 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2\cdot 0,5}{0,8} = \frac{1,0}{0,8} = 1,25.
Portanto
v_1 = -0,25\cdot 5 + 1,25\cdot 100 = -1,25 + 125 = 123,75\\ \mathrm{m/s}.
Agora v_2:
v_2 = \frac{2 m_1 u_1 + (m_2 - m_1)u_2}{m_1 + m_2}.
Coeficientes:
\frac{2 m_1}{m_1 + m_2} = \frac{2\cdot 0,3}{0,8} = \frac{0,6}{0,8} = 0,75,
\frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} = \frac{0,5 - 0,3}{0,8} = \frac{0,2}{0,8} = 0,25.
Logo
v_2 = 0,75\cdot 5 + 0,25\cdot 100 = 3,75 + 25 = 28,75\\ \mathrm{m/s}.
Fazendo uma checagem rápida do momento:
\text{momento inicial} = 0,3\cdot 5 + 0,5\cdot 100 = 1,5 + 50 = 51,5\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
\text{momento final} = 0,3\cdot 123,75 + 0,5\cdot 28,75 = 37,125 + 14,375 = 51,5\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
conservado. (A energia cinética também é conservada; a verificação dá igualdade quando feita com precisão.)

Resposta

\text{Caso 1: } v_1 = -2\\ \mathrm{m/s},\\ v_2 = +5\\ \mathrm{m/s}.
\text{Caso 2: } v_1 = +123{,}75\\ \mathrm{m/s},\\ v_2 = +28{,}75\\ \mathrm{m/s}.

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