Q38. Um trem viaja para o sul a 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (em relação ao solo) sob uma chuva que o vento impele para o sul. A trajetória das gotas de chuva forma um ângulo de 21,6^{\circ} com a vertical, quando medido por um observador estacionário sobre a Terra. Um passageiro sentado no trem vê, no entanto, traços de chuva deixados na vidraça perfeitamente verticais. Calcule a velocidade das gotas de chuva em relação a Terra. R: 81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O trem desloca-se ao sul com velocidade de 30\\ \mathrm{m/s} em relação à Terra. As gotas de chuva têm velocidade \vec v_r (com componentes horizontal v_x e vertical v_z), e o observador terrestre vê a trajetória formando \theta=21,6^\circ com a vertical. O passageiro no trem vê as gotas caírem verticalmente, ou seja, sem componente horizontal no referencial do trem. Para resolver usamos adição de velocidades e trigonometria.

Passo 2

Definimos eixos de modo que o eixo x aponte para o sul (horizontal) e o eixo z para baixo (vertical). A velocidade do trem é \displaystyle \vec v_t=(30,0)
e a da gota em relação à Terra é \displaystyle \vec v_r=(v_x,v_z).
No trem a gota tem velocidade
\vec v_{r/t}=\vec v_r-\vec v_t=(\,v_x-30\,,\,v_z\,).
Como o traço na vidraça é vertical, a componente horizontal vista no trem é nula, isto é,
v_{r/t,x}=v_x-30=0 \quad\Longrightarrow\quad v_x=30\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

O observador em repouso vê a gota descrevendo ângulo \theta com a vertical. Pela definição de tangente,
\tan\theta=\frac{v_x}{v_z} \quad\Longrightarrow\quad v_z=\frac{v_x}{\tan\theta}.
Substituindo \theta=21,6^\circ e v_x=30\\ \mathrm{m/s},
v_z=\frac{30}{\tan(21,6^\circ)}\approx\frac{30}{0,396} \approx75,8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

A velocidade absoluta da gota em relação à Terra é o módulo de \vec v_r=(30,\,75{,}8), Logo
|\vec v_r| =\sqrt{30^2+75{,}8^2} \approx\sqrt{900 +5745{,}6} \approx81\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade das gotas de chuva em relação à Terra é aproximadamente 81\\ \mathrm{m/s}.

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