Q36. Uma partícula se movimenta em um plano de acordo com as seguintes equações: x=R \sin (\omega t)+\omega R t e y=R \cos (\omega t)+R, onde R e \omega são constantes (ciclóide). Calcule a velocidade e a aceleração instantâneas quando a partícula está nas posições correspondentes aos máximos e mínimos de y . \mathbf{R}: y_{\text {min }}: v_{x}=v_{y}=a_{x}=0 ; a_{y}=\omega^{2} R; y_{\text {max }}: v_{x}=2 \omega R ; v_{y}=a_{x}=0 ; a_{y}=-\omega^{2} R.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x(t)=R\sin(\omega t)+\omega R\,t,\quad y(t)=R\cos(\omega t)+R
e pede a velocidade \vec v=(v_x,v_y) e a aceleração \vec a=(a_x,a_y) nos instantes em que y atinge seus máximos e mínimos. Vamos usar derivação paramétrica e a condição de extremo v_y=0.

Passo 2

Calculamos primeiro as componentes de velocidade derivando em relação a t:
v_x=\dot x=\frac{dx}{dt} =R\omega\cos(\omega t)+R\omega,
v_y=\dot y=\frac{dy}{dt} =-R\omega\sin(\omega t).

Passo 3

Em seguida, derivamos \vec v para obter a aceleração:
a_x=\dot v_x=\frac{d^2x}{dt^2} =-R\omega^2\sin(\omega t),
a_y=\dot v_y=\frac{d^2y}{dt^2} =-R\omega^2\cos(\omega t).

Passo 4

Extremos de y ocorrem quando
v_y=-R\omega\sin(\omega t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin(\omega t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega t=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.
Para classificar, usamos
a_y=-R\omega^2\cos(\omega t) =-R\omega^2(-1)^k.
Se k é par \cos(\omega t)=+1, então a_y=-R\omega^2<0 (máximo).
Se k é ímpar \cos(\omega t)=-1, então a_y=+R\omega^2>0 (mínimo).

Passo 5

Em y_{\min} k ímpar, \omega t=\pi,3\pi,\dots:
v_x=R\omega(\cos(\omega t)+1)=0,\quad v_y=0,
a_x=-R\omega^2\sin(\omega t)=0,\quad a_y=+R\omega^2.

Passo 6

Em y_{\max} k par, \omega t=0,2\pi,\dots:
v_x=R\omega(\cos(\omega t)+1)=2R\omega,\quad v_y=0,
a_x=-R\omega^2\sin(\omega t)=0,\quad a_y=-R\omega^2.

Resposta

y_{\min}:\;v_x=0,\;v_y=0,\;a_x=0,\;a_y=\omega^2R. y_{\max}:\;v_x=2\omega R,\;v_y=0,\;a_x=0,\;a_y=-\omega^2R.

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