Q4.[2,0 pontos] Qual o valor de m para que o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)=(x, x+m y+z, z) tenha apenas um autovalor? Para que valores de m o operador T é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado define o operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (\,x,\;x + m\,y + z,\;z\,).
Queremos (a) o valor de m para que T tenha apenas um autovalor e (b) para quais m o operador T é diagonalizável. Vamos usar matriz de T, polinômio característico e dimensões dos espaços próprios.
Para que haja apenas um autovalor precisamos que as raízes coincidam, ou seja, m=1. Nesse caso o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.
Passo 4
Para a diagonalização de T com m\neq1 temos dois autovalores distintos 1 e m, e basta checar que o espaço próprio de \lambda=1 tem dimensão 2. De fato,
gera uma única equação x + (m-1)y + z = 0, logo o espaço próprio de \lambda=1 tem dimensão 3-1=2. O autovalor \lambda=m tem dimensão própria 1. Assim para todo m\neq1 a soma das dimensões próprias é 2+1=3 e T é diagonalizável.
Se m=1, o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3, mas o espaço próprio tem dimensão 2 (a equação torna-se x+0\cdot y+z=0), insuficiente para diagonalizar.
Resposta
O operador T tem apenas um autovalor exatamente quando m=1.
O operador T é diagonalizável se, e somente se, m\neq1.