Q4.[2,0 pontos] Qual o valor de m para que o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z)=(x, x+m y+z, z) tenha apenas um autovalor? Para que valores de m o operador T é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (\,x,\;x + m\,y + z,\;z\,).
Queremos (a) o valor de m para que T tenha apenas um autovalor e (b) para quais m o operador T é diagonalizável. Vamos usar matriz de T, polinômio característico e dimensões dos espaços próprios.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} temos
T(e_1) = (1,1,0),\quad T(e_2) = (0,m,0),\quad T(e_3) = (0,1,1).
Logo a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & m & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\\\ 1 & m-\lambda & 1\\\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^2\,(m-\lambda).

Passo 3

Do polinômio característico concluímos que os autovalores são
\lambda = 1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \quad \lambda = m\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé
Para que haja apenas um autovalor precisamos que as raízes coincidam, ou seja, m=1. Nesse caso o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Para a diagonalização de T com m\neq1 temos dois autovalores distintos 1 e m, e basta checar que o espaço próprio de \lambda=1 tem dimensão 2. De fato,
A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 1 & m-1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
gera uma única equação x + (m-1)y + z = 0, logo o espaço próprio de \lambda=1 tem dimensão 3-1=2. O autovalor \lambda=m tem dimensão própria 1. Assim para todo m\neq1 a soma das dimensões próprias é 2+1=3 e T é diagonalizável.
Se m=1, o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3, mas o espaço próprio tem dimensão 2 (a equação torna-se x+0\cdot y+z=0), insuficiente para diagonalizar.

Resposta

O operador T tem apenas um autovalor exatamente quando m=1.
O operador T é diagonalizável se, e somente se, m\neq1.

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