Q4) (a) Faça uma tabela mostrando todos os conjuntos de números quânticos / e m_{l} possíveis para os estados do elétron no átomo de hidrogênio quando n=4. Quantas combinações existem? (b) Quais são as energias desses estados?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Fazer uma tabela mostrando todos os conjuntos de números quânticos \ell e m_{\ell} possíveis para os estados do elétron no átomo de hidrogênio quando n=4, e dizer quantas combinações existem.
  2. (b) Dizer quais são as energias desses estados.
Informações dadas explicitamente:
  • O número quântico principal é \,n=4.
  • Estamos tratando o átomo de hidrogênio (modelo desprezando efeitos finos como spin-órbita, Stark, Zeeman, etc.).
  • Não foi pedido explicitamente, mas podemos considerar também o spin eletrônico m_s se quisermos contar estados com spin.

Passo 2

Explicando os números quânticos (passo a passo, como se eu estivesse te explicando numa prova):
  • O número quântico principal \,n determina o nível de energia e toma valores inteiros positivos: \,n=1,2,3,\dots. Aqui \,n=4.
  • O número quântico azimutal (ou orbital) \,\ell pode variar de
\ell = 0,1,2,\dots,n-1.
Isso significa, para \,n=4, que
\ell \in \{0,1,2,3\}.
  • Para cada valor de \ell, o número quântico magnético m_{\ell} toma valores inteiros de
m_{\ell} = -\ell, -\ell+1, \dots, 0, \dots, \ell-1, \ell.
Então o número de valores possíveis de m_{\ell} para um dado \ell é
2\ell+1.
  • Dica prática: conte os m_{\ell} por cada \ell e some — isso te dá o número de orbitais espaciais no nível n. Existe uma identidade útil:
\sum_{\ell=0}^{n-1} (2\ell+1) = n^{2}.
Para \,n=4 isso será 4^{2}=16 orbitais espaciais (vou mostrar isso passo a passo abaixo).

Passo 3

Agora construímos a “tabela” listando, para cada \ell, os valores possíveis de m_{\ell} e os conjuntos (n,\ell,m_{\ell}).
\ell | m_{\ell} | conjuntos (n,\ell,m_{\ell}) (com n=4)
\,0 | \,0 | (4,0,0)
\,1 | -1,\,0,\,1 | (4,1,-1),\\ (4,1,0),\\ (4,1,1)
\,2 | -2,\,-1,\,0,\,1,\,2 | (4,2,-2),\\ (4,2,-1),\\ (4,2,0),\\ (4,2,1),\\ (4,2,2)
\,3 | -3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3 | (4,3,-3),\\ (4,3,-2),\\ (4,3,-1),\\ (4,3,0),\\ (4,3,1),\\ (4,3,2),\\ (4,3,3)
Observa que eu listei explicitamente todos os conjuntos (n,\ell,m_{\ell}) com n=4. Se quiseres todos como uma só lista completa, são:
(4,0,0);
(4,1,-1),(4,1,0),(4,1,1);
(4,2,-2),(4,2,-1),(4,2,0),(4,2,1),(4,2,2);
(4,3,-3),(4,3,-2),(4,3,-1),(4,3,0),(4,3,1),(4,3,2),(4,3,3).

Passo 4

Contagem das combinações (mostrando as contas passo a passo):
  • Para \ell=0: 2\ell+1 = 1 combinação.
  • Para \ell=1: 2\ell+1 = 3 combinações.
  • Para \ell=2: 2\ell+1 = 5 combinações.
  • Para \ell=3: 2\ell+1 = 7 combinações.
Somando:
1+3+5+7 = 16.
Isso coincide com a fórmula geral \sum_{\ell=0}^{3}(2\ell+1)=4^{2}=16.
Se agora incluirmos o spin do elétron ( m_s=\pm\frac{1}{2}), cada orbital espacial aceita 2 estados de spin, então o número total de estados eletrônicos (incluindo spin) é
2\times 16 = 32.

Passo 5

Agora a parte (b): quais são as energias desses estados? Explicando a teoria necessária:
  • No átomo de hidrogênio (no modelo de Bohr / solução exata da equação de Schrödinger para Coulomb), a energia só depende do número quântico principal \,n (ignorando finuras), isto é, é degenerada em \ell e m_{\ell}.
  • A fórmula para a energia é (em elétron-volts):
E_{n} = -\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}}.
Aqui -13{,}6\\ \mathrm{eV} é a energia do nível fundamental ( n=1), aproximadamente.
Aplicando para \,n=4:
E_{4} = -\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{4^{2}} = -\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{16} = -0{,}85\\ \mathrm{eV}.
Se preferires em joules, usamos 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}, então
E_{4} = -0{,}85\\ \mathrm{eV}\times 1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J/eV} \approx -1{,}36\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Observação didática: todos os 16 orbitais espaciais listados no Passo 3 têm exatamente a mesma energia E_{4}. Incluindo o spin, os 32 estados (contando m_s=\pm\frac{1}{2}) também têm essa energia, na ausência de interações que quebrem a degenerescência.

Passo 6

Resumo final e lembretes práticos para a prova:
  • Para montar a tabela, primeiro pega \ell=0 até \ell=n-1, e para cada \ell escreve os m_{\ell}=-\ell,\dots,\ell.
  • Conte as combinações com a soma de (2\ell+1) ou lembrando que o número total de orbitais é n^{2}.
  • Em hidrogênio ideal, energia depende só de n: E_n=-13{,}6\\ \mathrm{eV}/n^{2}.

Resposta

(a) Conjuntos (n,\ell,m_{\ell}) com n=4:
(4,0,0);
(4,1,-1),(4,1,0),(4,1,1);
(4,2,-2),(4,2,-1),(4,2,0),(4,2,1),(4,2,2);
(4,3,-3),(4,3,-2),(4,3,-1),(4,3,0),(4,3,1),(4,3,2),(4,3,3).
Número de combinações espaciais: 16. Número de estados incluindo spin ( m_s=\pm\frac{1}{2}): 32.
(b) Todas esses estados têm a mesma energia
E_{4} = -\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{4^{2}} = -0{,}85\\ \mathrm{eV} \approx -1{,}36\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.

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