Q4) (a) Faça uma tabela mostrando todos os conjuntos de números quânticos / e
possíveis para os estados do elétron no átomo de hidrogênio quando
. Quantas combinações existem? (b) Quais são as energias desses estados?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Fazer uma tabela mostrando todos os conjuntos de números quânticos
e possíveis para os estados do elétron no átomo de hidrogênio quando , e dizer quantas combinações existem. - (b) Dizer quais são as energias desses estados.
Informações dadas explicitamente:
- O número quântico principal é
. - Estamos tratando o átomo de hidrogênio (modelo desprezando efeitos finos como spin-órbita, Stark, Zeeman, etc.).
- Não foi pedido explicitamente, mas podemos considerar também o spin eletrônico
se quisermos contar estados com spin.
Passo 2
Explicando os números quânticos (passo a passo, como se eu estivesse te explicando numa prova):
- O número quântico principal
determina o nível de energia e toma valores inteiros positivos: . Aqui . - O número quântico azimutal (ou orbital)
pode variar de
Isso significa, para
, que
- Para cada valor de
, o número quântico magnético toma valores inteiros de
Então o número de valores possíveis de
para um dado
é
- Dica prática: conte os
por cada e some — isso te dá o número de orbitais espaciais no nível . Existe uma identidade útil:
Para
isso será
orbitais espaciais (vou mostrar isso passo a passo abaixo).
Passo 3
Agora construímos a “tabela” listando, para cada
, os valores possíveis de
e os conjuntos
.
Observa que eu listei explicitamente todos os conjuntos
com
. Se quiseres todos como uma só lista completa, são:
Passo 4
Contagem das combinações (mostrando as contas passo a passo):
- Para
: combinação. - Para
: combinações. - Para
: combinações. - Para
: combinações.
Somando:
Isso coincide com a fórmula geral
.
Se agora incluirmos o spin do elétron (
), cada orbital espacial aceita 2 estados de spin, então o número total de estados eletrônicos (incluindo spin) é
Passo 5
Agora a parte (b): quais são as energias desses estados? Explicando a teoria necessária:
- No átomo de hidrogênio (no modelo de Bohr / solução exata da equação de Schrödinger para Coulomb), a energia só depende do número quântico principal
(ignorando finuras), isto é, é degenerada em e . - A fórmula para a energia é (em elétron-volts):
Aqui
é a energia do nível fundamental (
), aproximadamente.
Aplicando para
:
Se preferires em joules, usamos
, então
Observação didática: todos os 16 orbitais espaciais listados no Passo 3 têm exatamente a mesma energia
. Incluindo o spin, os 32 estados (contando
) também têm essa energia, na ausência de interações que quebrem a degenerescência.
Passo 6
Resumo final e lembretes práticos para a prova:
- Para montar a tabela, primeiro pega
até , e para cada escreve os . - Conte as combinações com a soma de
ou lembrando que o número total de orbitais é . - Em hidrogênio ideal, energia depende só de
: .
Resposta
(a) Conjuntos
com
:
Número de combinações espaciais: . Número de estados incluindo spin (
):
.
Número de combinações espaciais:
(b) Todas esses estados têm a mesma energia