Q6) Uma partícula está no enésimo estado de energia
de um poço quadrado infinito com largura
. Determine a probabilidade de a partícula estar confinada ao primeiro 1/a da largura do poço. Comente sobre a dependência dessa probabilidade com a função n.
Passo 1
O enunciado dá que uma partícula está no enésimo estado de energia
de um poço quadrado infinito de largura
. Pergunta-se qual é a probabilidade de a partícula estar confinada ao primeiro
da largura do poço, e pede-se um comentário sobre a dependência dessa probabilidade com
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Observação: aqui eu interpreto
como a coordenada unidimensional
no intervalo
, que é a formulação padrão do poço quadrado infinito. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Relembrando a forma das funções de onda estacionárias normalizadas do poço infinito unidimensional (estas são fórmulas padrão que precisamos usar):
Explicação didática: Essas funções satisfazem as condições de contorno
e estão normalizadas, ou seja,
A constante
garante essa normalização. Aqui
é o número quântico que determina o modo estacionário (quantas “colas” de seno cabem no poço).
Passo 3
Definimos a probabilidade que queremos calcular como a integral da densidade de probabilidade
sobre o subintervalo
:
Substituindo
:
Explicação:
é a densidade de probabilidade; multiplicamos pelo fator de normalização quadrado
e integramos sobre a região de interesse.
Passo 4
Para calcular a integral, fazemos a mudança de variável
Os limites transformam-se assim:
e
.
Substituindo na integral:
Explicação: a substituição simplifica o argumento do seno para
e isola o parâmetro
nos limites da integração.
Passo 5
Usamos a identidade trigonométrica útil para integrar
:
Então
Aplicando isso ao integral definido entre
e
:
Explicação passo a passo: derivei a primitiva de
usando a identidade, depois avaliei nos limites; o termo em
zera.
Passo 6
Agora substituímos esse resultado em
:
Simplificando os fatores:
Verificação rápida: a primeira parcela
vem do termo médio da densidade e a segunda é uma correção oscilante que depende de
.
Passo 7
Interpretação e comentários sobre a dependência com
:
-
A expressão final é
-
Comportamento para
grande: o termo oscilante tem magnitude no máximo , que tende a zero quando . Portanto Física intuitiva: para estados de alta energia a densidadeoscila muito rapidamente, e a probabilidade média numa fração do poço aproxima-se da fração geométrica dessa região (a densidade tende a se “uniformizar” em média). -
Oscilações com
: para valores finitos de há uma correção oscilante que pode aumentar ou diminuir em relação a , dependendo do sinal de . O tamanho dessa correção diminui com . -
Casos especiais:
- Se
(meta: metade do poço), então e assim para todo . Ou seja, qualquer estado tem probabilidade de estar na metade esquerda do poço. - Em geral, se
for um inteiro, então e exatamente para esses .
- Se
-
Limites físicos: note que a expressão respeita
(pode-se verificar que o termo oscilante não desloca para fora desse intervalo).
Passo 8
Exemplo numérico rápido para intuir: tome
. Então
Para
obtemos
Para
a correção vale aproximadamente
que é muito menor, e
fica bem próximo de
.
Resposta
Dependência com
:
tem uma parcela média
e uma correção oscilante de amplitude
; portanto
aproxima-se de
quando
, com oscilações decrescentes em
.