Q1) Um elétron livre tem função de onda
Determine o comprimento de onda de De Broglie, o momento, a energia cinética e a velocidade do elétron na quando
.
Passo 1
Enunciado e dados: a função de onda do elétron é
e foi dado
.
O que o problema pede (lista clara):
O que o problema pede (lista clara):
- O comprimento de onda de de Broglie.
- O momento (momentum) do elétron.
- A energia cinética do elétron.
- A velocidade do elétron.
Dados numéricos que vamos usar (anotei para não perder): massa do elétron
; constante de Planck reduzida
; 1 eV
.
Observação sobre a forma da onda: a forma é a parte real de uma combinação de ondas planas, então falaremos do valor do módulo do momento (usando
) — explico isso nos passos seguintes.
Observação sobre a forma da onda: a forma
Passo 2
Entendendo a relação entre
e o comprimento de onda
.
Conceito: em ondas harmônicas, o número de onda (às vezes chamado de “número de onda angular”) está ligado ao comprimento de onda por
Conceito: em ondas harmônicas, o número de onda
Explicação didática:
mede quantos ângulos (radianos) a fase varia por unidade de comprimento; uma volta completa em fase é
radianos, portanto o comprimento de onda é
dividido por
.
Primeiro convertemos para unidades SI (metros):
Primeiro convertemos
Agora calculamos
:
Fazendo a conta:
, então
Em unidades mais familiares:
Passo 3
Cálculo do momento
.
Fórmula e motivação: para uma onda livre com número de onda a relação de De Broglie é
Fórmula e motivação: para uma onda livre com número de onda
onde
é a constante de Planck reduzida (
). Importante anotar: a função
pode ser escrita como combinação de
e
; isso significa que a função real dada é uma superposição de estados com momento
e
. Portanto não é um autovalor único de momento, mas normalmente na questão pede-se o valor associado a
em módulo, que é
.
Usando e
:
Usando
Arredondando com 3 algarismos significativos:
Passo 4
Cálculo da energia cinética
(regra clássica-quântica não relativística).
Fórmula: para uma partícula livre não relativística
Fórmula: para uma partícula livre não relativística
Explicação: essa é a energia cinética usual em mecânica clássica, que também vale aqui se a energia associada a
for muito menor que a energia de repouso relativística (vamos checar isso depois).
Calculamos :
Calculamos
Agora dividimos por
com
, então
.
Conversão para elétron-volt (útil em física de partículas e elétrons):
, então
Observação didática: é comum apresentar energia de elétrons em eV; aqui deu cerca de
, ou seja, um elétron moderadamente energético (não relativístico extremo).
Passo 5
Cálculo da velocidade
.
Relação entre momento e velocidade (definição de momento linear):
Relação entre momento e velocidade (definição de momento linear):
Substituindo os números:
Arredondando:
Passo 6
Verificação de consistência (não-relativística).
Comparando com a velocidade da luz , temos
, ou seja
é cerca de
de
. Portanto a aproximação não-relativística (usar
e
) é aceitável aqui.
Comparando com a velocidade da luz