Q1) Um elétron livre tem função de onda
\Psi(x, t)=\operatorname{sen}(k x-\omega t)
Determine o comprimento de onda de De Broglie, o momento, a energia cinética e a velocidade do elétron na quando k=50 \mathrm{~nm}^{-1}.

Passo 1

Enunciado e dados: a função de onda do elétron é \Psi(x,t)=\operatorname{sen}(kx-\omega t) e foi dado \;k=50\\ \mathrm{nm}^{-1}.
O que o problema pede (lista clara):
  1. O comprimento de onda de de Broglie.
  2. O momento (momentum) do elétron.
  3. A energia cinética do elétron.
  4. A velocidade do elétron.
Dados numéricos que vamos usar (anotei para não perder): massa do elétron \;m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}; constante de Planck reduzida \;\hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}; 1 eV =1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Observação sobre a forma da onda: a forma \operatorname{sen}(kx-\omega t) é a parte real de uma combinação de ondas planas, então falaremos do valor do módulo do momento (usando p=\hbar k) — explico isso nos passos seguintes.

Passo 2

Entendendo a relação entre k e o comprimento de onda \lambda.
Conceito: em ondas harmônicas, o número de onda k (às vezes chamado de “número de onda angular”) está ligado ao comprimento de onda por
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Explicação didática: k mede quantos ângulos (radianos) a fase varia por unidade de comprimento; uma volta completa em fase é 2\pi radianos, portanto o comprimento de onda é 2\pi dividido por k.
Primeiro convertemos k para unidades SI (metros):
k=50\\ \mathrm{nm}^{-1}=50\times10^{9}\\ \mathrm{m}^{-1}=5{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{m}^{-1}.
Agora calculamos \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{5{,}0\times10^{10}}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a conta: 2\pi\approx6{,}283185307, então
\lambda\approx\frac{6{,}283185307}{5{,}0\times10^{10}}=1{,}256637061\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais familiares:
\lambda\approx1{,}2566\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}12566\\ \mathrm{nm}.

Passo 3

Cálculo do momento p.
Fórmula e motivação: para uma onda livre com número de onda k a relação de De Broglie é
p=\hbar k,
onde \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar=h/2\pi). Importante anotar: a função \operatorname{sen}(kx-\omega t) pode ser escrita como combinação de e^{i(kx-\omega t)} e e^{-i(kx-\omega t)}; isso significa que a função real dada é uma superposição de estados com momento +\hbar k e -\hbar k. Portanto não é um autovalor único de momento, mas normalmente na questão pede-se o valor associado a k em módulo, que é \hbar k.
Usando \hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} e k=5{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{m}^{-1}:
p=\hbar k=1{,}054571817\times10^{-34}\times 5{,}0\times10^{10}=5{,}272859085\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
p\approx5{,}27\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Cálculo da energia cinética K (regra clássica-quântica não relativística).
Fórmula: para uma partícula livre não relativística
K=\frac{p^{2}}{2m_e}.
Explicação: essa é a energia cinética usual em mecânica clássica, que também vale aqui se a energia associada a p for muito menor que a energia de repouso relativística (vamos checar isso depois).
Calculamos p^2:
p^{2}=(5{,}272859085\times10^{-24})^{2}\approx2{,}7808\times10^{-47}\\ \mathrm{(kg^{2}\,m^{2}/s^{2})}.
Agora dividimos por 2m_e com m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}, então 2m_e=1{,}821876712\times10^{-30}\\ \mathrm{kg}.
K=\frac{2{,}7808\times10^{-47}}{1{,}821876712\times10^{-30}}\\ \mathrm{J}\approx1{,}5265\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Conversão para elétron-volt (útil em física de partículas e elétrons): 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}, então
K\approx\frac{1{,}5265\times10^{-17}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx95{,}3\\ \mathrm{eV}.
Observação didática: é comum apresentar energia de elétrons em eV; aqui deu cerca de 95\\ \mathrm{eV}, ou seja, um elétron moderadamente energético (não relativístico extremo).

Passo 5

Cálculo da velocidade v.
Relação entre momento e velocidade (definição de momento linear):
v=\frac{p}{m_e}.
Substituindo os números:
v=\frac{5{,}272859085\times10^{-24}}{9{,}10938356\times10^{-31}}\\ \mathrm{m/s}\approx5{,}7897\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando:
v\approx5{,}79\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Verificação de consistência (não-relativística).
Comparando com a velocidade da luz c\approx3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, temos v/c\approx0{,}019, ou seja v é cerca de 1{,}9\% de c. Portanto a aproximação não-relativística (usar K=p^{2}/2m e v=p/m) é aceitável aqui.

Resposta

\lambda\approx1{,}2566\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}12566\\ \mathrm{nm}
p\approx5{,}273\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
K\approx1{,}5265\times10^{-17}\\ \mathrm{J}\approx95{,}3\\ \mathrm{eV}
v\approx5{,}79\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}

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