Q7.16 Visto que somente variações de energia potencial são relevantes em um problema qualquer, um estudante decide fazer a energia potencial elástica de uma mola igual a zero, quando a mola está esticada a uma distância
. O estudante decide, portanto, fazer
. Isso está correto? Explique.
Passo 1
O enunciado diz que um estudante quer escolher a referência (zero) da energia potencial elástica de uma mola tal que a energia seja zero quando a mola está esticada a uma distância
. O estudante propõe, portanto,
A pergunta é: isso está correto? Quais informações temos explicitamente: a expressão proposta pelo estudante e a ideia de que “somente variações de energia potencial são relevantes”.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): o que significa “energia potencial definida até uma constante”?
- A energia potencial
é uma função cujo gradiente (no caso unidimensional: derivada) dá a força: a força conservativa é . - Se eu somar uma constante
qualquer a , isto é, definir , a derivada não muda:
- Portanto, é verdade que só as diferenças de
importam para a dinâmica. Mas esse princípio permite mudar apenas por adição de uma constante, não por mudar a dependência em .
Passo 3
A forma padrão (mais usada) para a energia potencial de uma mola que obedece a Lei de Hooke, quando
mede o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (posição onde a força da mola é zero), é
Se eu quiser que a energia potencial seja zero na posição
, a maneira correta de ajustar apenas o referencial é somar uma constante
tal que
. Assim escolho
e a energia com essa referência fica
Observe que
e que
ou seja, a força é exatamente a mesma obtida com
.
Passo 4
Agora vamos comparar com a proposta do estudante. Expanda
:
Compare com
. A diferença não é uma constante: há um termo linear em
,
, que depende de
. Isso altera a forma da função e, portanto, altera a força derivada de
.
Passo 5
Calculemos explicitamente as forças obtidas por cada
:
- Para
:
- Para
:
Portanto a escolha do estudante introduz uma força constante extra
. Isso muda a física: a posição de equilíbrio passa a ser
para
, enquanto na mola original a posição de equilíbrio (onde a força da mola é zero) era
.
Passo 6
Interpretação física e conclusão parcial (didática):
- Se a mola “natural” tiver sua posição de repouso em
(ou seja, o deslocamento natural é ), a proposta do estudante está errada porque modifica a força e, portanto, o comportamento físico. - Entretanto, se a variável
do estudante já for a coordenada absoluta do espaço e a mola tiver, de fato, sua posição sem tensão (posição de repouso) localizada em , então a energia potencial em função da coordenada absoluta é mesmo
pois aí o deslocamento efetivo da mola é
. Em outras palavras: usar
é correto somente quando
é o deslocamento em relação à posição sem tensão. Mas isso não é o mesmo que "apenas escolher o zero da energia em
" — aí bastaria subtrair uma constante.
Passo 7
Regra prática que você deve decorar para a prova (resumindo de forma direta e útil):
- Para mudar a referência (zero) da energia potencial sem alterar a física, some/subtraia uma constante:
. - Não modifique a dependência em
(por exemplo trocando por ) a menos que você esteja redefinindo a coordenada física do deslocamento (isto é, a definição do que é “deslocamento” mudou). Se apenas quiser que , use
Resposta
Não, em geral não. A expressão
altera a força (introduz um termo
) e, portanto, a física do sistema; a maneira correta de tornar
sem mudar a força é adicionar uma constante:
A fórmula do estudante só está correta se a coordenada
já for definida de modo que o deslocamento em relação à posição de repouso seja
.