Q7.16 Visto que somente variações de energia potencial são relevantes em um problema qualquer, um estudante decide fazer a energia potencial elástica de uma mola igual a zero, quando a mola está esticada a uma distância x_{1}. O estudante decide, portanto, fazer U=\frac{1}{2} k\left(x-x_{1}\right)^{2}. Isso está correto? Explique.

Passo 1

O enunciado diz que um estudante quer escolher a referência (zero) da energia potencial elástica de uma mola tal que a energia seja zero quando a mola está esticada a uma distância \,x_{1}\,. O estudante propõe, portanto,
U(x)=\frac{1}{2}k\bigl(x-x_{1}\bigr)^{2}.
A pergunta é: isso está correto? Quais informações temos explicitamente: a expressão proposta pelo estudante e a ideia de que “somente variações de energia potencial são relevantes”.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o que significa “energia potencial definida até uma constante”?
  • A energia potencial U(x) é uma função cujo gradiente (no caso unidimensional: derivada) dá a força: a força conservativa é -\dfrac{dU}{dx}.
  • Se eu somar uma constante C qualquer a U(x), isto é, definir \tilde{U}(x)=U(x)+C, a derivada não muda:
-\frac{d\tilde{U}}{dx}=-\frac{dU}{dx}.
  • Portanto, é verdade que só as diferenças de U importam para a dinâmica. Mas esse princípio permite mudar U apenas por adição de uma constante, não por mudar a dependência em x.

Passo 3

A forma padrão (mais usada) para a energia potencial de uma mola que obedece a Lei de Hooke, quando x mede o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (posição onde a força da mola é zero), é
U_{\text{padrão}}(x)=\frac{1}{2}k x^{2}.ã
Se eu quiser que a energia potencial seja zero na posição x_{1}, a maneira correta de ajustar apenas o referencial é somar uma constante C tal que U(x_{1})=0. Assim escolho
C=-\frac{1}{2}k x_{1}^{2},
e a energia com essa referência fica
U_{\text{correta}}(x)=\frac{1}{2}k x^{2}-\frac{1}{2}k x_{1}^{2}.
Observe que U_{\text{correta}}(x_{1})=0 e que
-\frac{dU_{\text{correta}}}{dx}=-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}k x^{2}-\frac{1}{2}k x_{1}^{2}\right)=-k x,
ou seja, a força é exatamente a mesma obtida com U_{\text{padrão}}ã.

Passo 4

Agora vamos comparar com a proposta do estudante. Expanda \displaystyle U_{\text{estudante}}(x)=\frac{1}{2}k\bigl(x-x_{1}\bigr)^{2}:
U_{\text{estudante}}(x)=\frac{1}{2}k x^{2}-k x_{1}x+\frac{1}{2}k x_{1}^{2}.
Compare com U_{\text{correta}}(x)=\frac{1}{2}k x^{2}-\frac{1}{2}k x_{1}^{2}. A diferença não é uma constante: há um termo linear em x, -k x_{1}x, que depende de x. Isso altera a forma da função e, portanto, altera a força derivada de U.

Passo 5

Calculemos explicitamente as forças obtidas por cada U:
  • Para U_{\text{correta}}:
F_{\text{correta}}(x)=-\frac{dU_{\text{correta}}}{dx}=-k x.
  • Para U_{\text{estudante}}:
F_{\text{estudante}}(x)=-\frac{dU_{\text{estudante}}}{dx}=-k\bigl(x-x_{1}\bigr)=-k x + k x_{1}.
Portanto a escolha do estudante introduz uma força constante extra k x_{1}. Isso muda a física: a posição de equilíbrio passa a ser x=x_{1} para F_{\text{estudante}}=0, enquanto na mola original a posição de equilíbrio (onde a força da mola é zero) era x=0.

Passo 6

Interpretação física e conclusão parcial (didática):
  • Se a mola “natural” tiver sua posição de repouso em x=0 (ou seja, o deslocamento natural é x=0), a proposta do estudante está errada porque modifica a força e, portanto, o comportamento físico.
  • Entretanto, se a variável x do estudante já for a coordenada absoluta do espaço e a mola tiver, de fato, sua posição sem tensão (posição de repouso) localizada em x_{1}, então a energia potencial em função da coordenada absoluta é mesmo
U(x)=\frac{1}{2}k\bigl(x-x_{1}\bigr)^{2},
pois aí o deslocamento efetivo da mola é x-x_{1}. Em outras palavras: usar \frac{1}{2}k(x-x_{1})^{2} é correto somente quando x-x_{1} é o deslocamento em relação à posição sem tensão. Mas isso não é o mesmo que "apenas escolher o zero da energia em x_{1}" — aí bastaria subtrair uma constante.

Passo 7

Regra prática que você deve decorar para a prova (resumindo de forma direta e útil):
  • Para mudar a referência (zero) da energia potencial sem alterar a física, some/subtraia uma constante: U \mapsto U+C.
  • Não modifique a dependência em x (por exemplo trocando x por x-x_{1}) a menos que você esteja redefinindo a coordenada física do deslocamento (isto é, a definição do que é “deslocamento” mudou). Se apenas quiser que U(x_1)=0, use
U(x)=\frac{1}{2}k x^{2}-\frac{1}{2}k x_{1}^{2}.

Resposta

Não, em geral não. A expressão \displaystyle U=\frac{1}{2}k\bigl(x-x_{1}\bigr)^{2} altera a força (introduz um termo \,kx_{1}\,) e, portanto, a física do sistema; a maneira correta de tornar U(x_{1})=0 sem mudar a força é adicionar uma constante:
U(x)=\frac{1}{2}k x^{2}-\frac{1}{2}k x_{1}^{2}.
A fórmula do estudante só está correta se a coordenada x já for definida de modo que o deslocamento em relação à posição de repouso seja x-x_{1}.

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