Q7.11 Uma pedra de 1,0 \mathrm{~kg} e outra de 10,0 \mathrm{~kg} são soltas partindo do repouso à mesma altura acima do solo. A resistência do ar pode ser desprezada. Quais destas afirmações sobre as pedras são verdadeiras? Justifique cada resposta. (a) As duas possuem a mesma energia potencial gravitacional inicial. (b) As duas terão a mesma aceleração enquanto caírem. (c) As duas terão a mesma velocidade quando atingirem o solo. (d) As duas terão a mesma energia cinética quando atingirem o solo.

Passo 1

O enunciado: duas pedras, uma de 1{,}0\\ \mathrm{kg} e outra de 10{,}0\\ \mathrm{kg}, são largadas do repouso da mesma altura acima do solo. A resistência do ar é desprezada. As perguntas são — para cada item, dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar:
(a) As duas possuem a mesma energia potencial gravitacional inicial.
(b) As duas terão a mesma aceleração enquanto caírem.
(c) As duas terão a mesma velocidade quando atingirem o solo.
(d) As duas terão a mesma energia cinética quando atingirem o solo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Massas: m_1=1{,}0\\ \mathrm{kg} e m_2=10{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Mesma altura inicial acima do solo: chamo essa altura de h (o enunciado não dá um valor numérico, só diz que é igual para as duas).
  • Partem do repouso: velocidade inicial v_0=0.
  • Resistência do ar desprezível (logo só atua a gravidade).

Passo 2

Energia potencial gravitacional — conceito e fórmula.
A energia potencial gravitacional de um objeto de massa m a uma altura h acima de uma referência (aqui, o solo) é dada por
U = m g h,
onde:
  • U é a energia potencial gravitacional (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa do objeto (em \mathrm{kg});
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2});
  • h é a altura (em \mathrm{m}).
Aplicando isso às duas pedras:
U_1 = m_1 g h = 1{,}0\\ g\\ h,
U_2 = m_2 g h = 10{,}0\\ g\\ h.
Como U_2 = 10\cdot U_1, as energias potenciais iniciais são diferentes (a pedra mais pesada tem mais energia potencial porque a fórmula é proporcional à massa). Portanto a afirmação (a) é falsa.

Passo 3

Aceleração durante a queda — por que é igual para as duas.
Use a segunda lei de Newton para a força peso: a força gravitacional sobre um corpo é F_g = m g. A segunda lei diz F_\text{resultante}=m a. Aqui a única força (desprezando o ar) é F_g, logo
m a = m g.
Dividindo ambos os lados por m (e isso é válido para qualquer massa m\neq 0) obtemos
a = g.
Ou seja, a aceleração a é igual a g e não depende da massa. Assim, ambas as pedras terão a mesma aceleração durante a queda: a=g. Portanto a afirmação (b) é verdadeira.

Passo 4

Velocidade ao atingir o solo — uso de equação do movimento (método algébrico simples).
Como as pedras começam do repouso ( v_0=0), têm aceleração constante a=g e caem da mesma altura h, podemos usar a equação cinemática que relaciona velocidade final ao deslocamento:
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y.
Aqui v_0=0, a=g e o deslocamento vertical em módulo é \Delta y = h, então
v^2 = 0 + 2 g h,
ou
v = \sqrt{2 g h}.
Note que nessa expressão não aparece a massa m: a velocidade final depende apenas de g e de h. Como g e h são os mesmos para as duas pedras, ambas atingem o solo com a mesma velocidade v=\sqrt{2 g h}. Portanto a afirmação (c) é verdadeira.
(Observação alternativa via conservação de energia: do repouso até o solo, m g h se transforma em energia cinética \tfrac{1}{2} m v^2. Igualando as duas e cancelando m dá a mesma fórmula para v, reforçando que v é independente de m.)

Passo 5

Energia cinética ao atingir o solo — cálculo e comparação.
A energia cinética de um objeto de massa m e velocidade v é
K = \tfrac{1}{2} m v^2.
Usando o resultado do passo anterior v^2 = 2 g h, substituímos:
K = \tfrac{1}{2} m (2 g h) = m g h.
Isso mostra claramente que a energia cinética final de cada pedra é exatamente igual à sua energia potencial inicial (conservação da energia mecânica quando não há atrito/forças dissipativas) e que K é proporcional à massa m. Assim,
K_1 = m_1 g h = 1{,}0\\ g\\ h,
K_2 = m_2 g h = 10{,}0\\ g\\ h = 10\cdot K_1.
Logo as energias cinéticas finais são diferentes — a pedra de 10{,}0\\ \mathrm{kg} tem dez vezes a energia cinética da pedra de 1{,}0\\ \mathrm{kg}. Portanto a afirmação (d) é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Falsa

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