Q7.11 Uma pedra de
e outra de
são soltas partindo do repouso à mesma altura acima do solo. A resistência do ar pode ser desprezada. Quais destas afirmações sobre as pedras são verdadeiras? Justifique cada resposta. (a) As duas possuem a mesma energia potencial gravitacional inicial. (b) As duas terão a mesma aceleração enquanto caírem. (c) As duas terão a mesma velocidade quando atingirem o solo. (d) As duas terão a mesma energia cinética quando atingirem o solo.
Passo 1
O enunciado: duas pedras, uma de
e outra de
, são largadas do repouso da mesma altura acima do solo. A resistência do ar é desprezada. As perguntas são — para cada item, dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar:
(a) As duas possuem a mesma energia potencial gravitacional inicial.
(b) As duas terão a mesma aceleração enquanto caírem.
(c) As duas terão a mesma velocidade quando atingirem o solo.
(d) As duas terão a mesma energia cinética quando atingirem o solo.
(a) As duas possuem a mesma energia potencial gravitacional inicial.
(b) As duas terão a mesma aceleração enquanto caírem.
(c) As duas terão a mesma velocidade quando atingirem o solo.
(d) As duas terão a mesma energia cinética quando atingirem o solo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Massas:
e . - Mesma altura inicial acima do solo: chamo essa altura de
(o enunciado não dá um valor numérico, só diz que é igual para as duas). - Partem do repouso: velocidade inicial
. - Resistência do ar desprezível (logo só atua a gravidade).
Passo 2
Energia potencial gravitacional — conceito e fórmula.
A energia potencial gravitacional de um objeto de massa a uma altura
acima de uma referência (aqui, o solo) é dada por
A energia potencial gravitacional de um objeto de massa
onde:
-
é a energia potencial gravitacional (em joules, ); -
é a massa do objeto (em ); -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ); -
é a altura (em ).
Aplicando isso às duas pedras:
Como
, as energias potenciais iniciais são diferentes (a pedra mais pesada tem mais energia potencial porque a fórmula é proporcional à massa). Portanto a afirmação (a) é falsa.
Passo 3
Aceleração durante a queda — por que é igual para as duas.
Use a segunda lei de Newton para a força peso: a força gravitacional sobre um corpo é . A segunda lei diz
. Aqui a única força (desprezando o ar) é
, logo
Use a segunda lei de Newton para a força peso: a força gravitacional sobre um corpo é
Dividindo ambos os lados por
(e isso é válido para qualquer massa
) obtemos
Ou seja, a aceleração
é igual a
e não depende da massa. Assim, ambas as pedras terão a mesma aceleração durante a queda:
. Portanto a afirmação (b) é verdadeira.
Passo 4
Velocidade ao atingir o solo — uso de equação do movimento (método algébrico simples).
Como as pedras começam do repouso ( ), têm aceleração constante
e caem da mesma altura
, podemos usar a equação cinemática que relaciona velocidade final ao deslocamento:
Como as pedras começam do repouso (
Aqui
,
e o deslocamento vertical em módulo é
, então
ou
Note que nessa expressão não aparece a massa
: a velocidade final depende apenas de
e de
. Como
e
são os mesmos para as duas pedras, ambas atingem o solo com a mesma velocidade
. Portanto a afirmação (c) é verdadeira.
(Observação alternativa via conservação de energia: do repouso até o solo,
se transforma em energia cinética
. Igualando as duas e cancelando
dá a mesma fórmula para
, reforçando que
é independente de
.)
Passo 5
Energia cinética ao atingir o solo — cálculo e comparação.
A energia cinética de um objeto de massa e velocidade
é
A energia cinética de um objeto de massa
Usando o resultado do passo anterior
, substituímos:
Isso mostra claramente que a energia cinética final de cada pedra é exatamente igual à sua energia potencial inicial (conservação da energia mecânica quando não há atrito/forças dissipativas) e que
é proporcional à massa
. Assim,
Logo as energias cinéticas finais são diferentes — a pedra de
tem dez vezes a energia cinética da pedra de
. Portanto a afirmação (d) é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Falsa