Q6: Sabemos que existe P inversível tal que:
\left[\begin{array}{rrr} -7 & -6 & 3 \\\\ 6 & 5 & -3 \\\\ -8 & -6 & 4 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b .
A 3^{\mathrm{a}} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{c}2 \\\ \star \\\\ 2\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{c}2 \\\ \star \\\\ 3\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}2 \\\ \star \\\\ 4\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{c}2 \\\ \star \\\\ 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\left[\begin{array}{rrr} -7 & -6 & 3 \\\\ 6 & 5 & -3 \\\\ -8 & -6 & 4 \end{array}\right]
e afirma que existe matriz inversível P tal que
A = P \left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right] P^{-1},
com a<b. O enunciado pergunta: a terceira coluna de P é múltipla de qual vetor dentre as opções
(A) \left[\begin{array}{c}2 \\\ \star \\\\ 2\end{array}\right],
(B) \left[\begin{array}{c}2 \\\ \star \\\\ 3\end{array}\right],
(C) \left[\begin{array}{c}2 \\\ \star \\\\ 4\end{array}\right],
(D) \left[\begin{array}{c}2 \\\ \star \\\\ 5\end{array}\right].
Informações relevantes dadas:
  • As entradas da diagonal da matriz diagonalizada são -1,\; a,\; b (nessa ordem).
  • a<b.
  • P é inversível, logo suas colunas formam uma base (cada coluna é um autovetor associado ao autovalor correspondente na diagonal).

Passo 2

Observação importante (aula rápida): quando uma matriz [A) é igual a PDP^{-1} com D diagonal, as colunas de P são autovetores de A e os elementos da diagonal de D são os autovalores correspondentes, na mesma ordem das colunas. Assim, a 3ª coluna de P é um autovetor associado ao autovalor b.
Para descobrir b podemos usar propriedades simples da matriz A:
  • A soma dos autovalores de A é igual à soma dos elementos da diagonal de A (traço). Portanto
\mathrm{tr}(A)=(-1)+a+b.
Calculemos a traça de A:
\mathrm{tr}(A) = -7 + 5 + 4 = 2.
Logo
-1 + a + b = 2 \quad\Rightarrow\quad a + b = 3.
  • O produto dos autovalores é igual ao determinante de A. Como os autovalores são -1,\; a,\; b, temos
\det(A)=(-1)\,a\,b = -ab.
Vamos calcular \det(A) explicitamente.
Calculemos \det(A) pela expansão:
\det(A)= -7\det\!\left(\begin{smallmatrix}5 & -3\\\\ -6 & 4\end{smallmatrix}\right) -(-6)\det\!\left(\begin{smallmatrix}6 & -3\\\\ -8 & 4\end{smallmatrix}\right) +3\det\!\left(\begin{smallmatrix}6 & 5\\\\ -8 & -6\end{smallmatrix}\right).
Agora as determinantes 2×2:
\det\!\left(\begin{smallmatrix}5 & -3\\\\ -6 & 4\end{smallmatrix}\right)=5\cdot4 - (-3)(-6)=20-18=2,
\det\!\left(\begin{smallmatrix}6 & -3\\\\ -8 & 4\end{smallmatrix}\right)=6\cdot4 - (-3)(-8)=24-24=0,
\det\!\left(\begin{smallmatrix}6 & 5\\\\ -8 & -6\end{smallmatrix}\right)=6(-6)-5(-8)=-36+40=4.
Portanto
\det(A)= -7\cdot2 + 6\cdot0 + 3\cdot4 = -14 + 0 + 12 = -2.
Logo \det(A)=-2. Igualando com -ab:
-ab = -2 \quad\Rightarrow\quad ab = 2.
Agora temos o sistema para a e b:
\begin{cases} a+b = 3,\\\ ab = 2. \end{cases}
Os números que satisfazem são as raízes do polinômio t^2 - 3t + 2 = 0\], ou seja \[t=1 \quad\text{ou}\quad t=2.\] Como \(a<b, concluímos a=1 e b=2. Portanto o autovalor que interessa é b=2.

Passo 3

Agora precisamos encontrar um autovetor de [A) associado a b=2; esse autovetor (qualquer múltiplo não-nulo) será a 3ª coluna de P.
Montamos o sistema (A-2I)v=0. A matriz A-2I é
A-2I = \left[\begin{array}{rrr} -7-2 & -6 & 3 \\\\ 6 & 5-2 & -3 \\\\ -8 & -6 & 4-2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} -9 & -6 & 3 \\\\ 6 & 3 & -3 \\\\ -8 & -6 & 2 \end{array}\right].
Se v=\left[\begin{smallmatrix}x\\\ y\\\ z\end{smallmatrix}\right], o sistema (A-2I)v=0 dá as equações
\begin{cases} -9x -6y +3z = 0,\\[4pt] 6x + 3y -3z = 0,\\[4pt] -8x -6y +2z = 0. \end{cases}
Dividindo a primeira por 3\], a segunda por \[3 e a terceira por 2 (para simplificar), obtemos formas mais amigáveis:
\begin{cases} -3x -2y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 3x + 2y,\\[4pt] 2x + y - z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 2x + y,\\[4pt] -4x -3y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 4x + 3y. \end{cases}
Essas três expressões para z\] devem ser iguais; comparando a primeira com a segunda: \[3x + 2y = 2x + y \quad\Rightarrow\quad x + y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -x.\] Verificando que isso também satisfaz a terceira igualdade: com \(y=-x, a segunda dá z = 2x + (-x) = x e a terceira dá z = 4x + 3(-x) = x. Tudo consistente.
Portanto os vetores solução têm a forma
\left[\begin{array}{c}x\\\ y\\\ z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}x\\\\ -x\\\ x\end{array}\right] = x\left[\begin{array}{c}1\\\\ -1\\\\ 1\end{array}\right],
com x\neq 0. Assim um autovetor associado a b=2 é \left[\begin{smallmatrix}1\\\\ -1\\\\ 1\end{smallmatrix}\right].]

Passo 4

Comparando com as opções: a 3ª coluna de P pode ser qualquer múltiplo desse autovetor. Multiplicando por 2 (para forçar a primeira coordenada ser 2, como nas opções) obtemos
2\left[\begin{array}{c}1\\\\ -1\\\\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\\\\ -2\\\\ 2\end{array}\right],
ou seja, a terceira coordenada é 2. Então a 3ª coluna de P é múltipla de \left[\begin{smallmatrix}2\\\ \star\\\\ 2\end{smallmatrix}\right] (onde \star=-2 neste múltiplo). Isso corresponde à alternativa (A). As outras alternativas têm a terceira entrada 3,4,5 e, portanto, não podem ser múltiplos do autovetor encontrado (cuja terceira entrada é proporcional a 1, então ao fazer a primeira entrada 2 a terceira será 2, não 3,4 ou 5).

Resposta

(A)

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