A = P \left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right] P^{-1},
com a<b. O enunciado pergunta: a terceira coluna de P é múltipla de qual vetor dentre as opções
(A) \left[\begin{array}{c}2 \\\ \star \\\\ 2\end{array}\right],
(B) \left[\begin{array}{c}2 \\\ \star \\\\ 3\end{array}\right],
(C) \left[\begin{array}{c}2 \\\ \star \\\\ 4\end{array}\right],
(D) \left[\begin{array}{c}2 \\\ \star \\\\ 5\end{array}\right].
Informações relevantes dadas:
As entradas da diagonal da matriz diagonalizada são -1,\; a,\; b (nessa ordem).
a<b.
P é inversível, logo suas colunas formam uma base (cada coluna é um autovetor associado ao autovalor correspondente na diagonal).
Passo 2
Observação importante (aula rápida): quando uma matriz [A) é igual a PDP^{-1} com D diagonal, as colunas de P são autovetores de A e os elementos da diagonal de D são os autovalores correspondentes, na mesma ordem das colunas. Assim, a 3ª coluna de P é um autovetor associado ao autovalor b.
Para descobrir b podemos usar propriedades simples da matriz A:
A soma dos autovalores de A é igual à soma dos elementos da diagonal de A (traço). Portanto
\mathrm{tr}(A)=(-1)+a+b.
Calculemos a traça de A:
\mathrm{tr}(A) = -7 + 5 + 4 = 2.
Logo
-1 + a + b = 2 \quad\Rightarrow\quad a + b = 3.
O produto dos autovalores é igual ao determinante de A. Como os autovalores são -1,\; a,\; b, temos
Os números que satisfazem são as raízes do polinômio t^2 - 3t + 2 = 0\], ou seja
\[t=1 \quad\text{ou}\quad t=2.\]
Como \(a<b, concluímos a=1 e b=2. Portanto o autovalor que interessa é b=2.
Passo 3
Agora precisamos encontrar um autovetor de [A) associado a b=2; esse autovetor (qualquer múltiplo não-nulo) será a 3ª coluna de P.
Dividindo a primeira por 3\], a segunda por \[3 e a terceira por 2 (para simplificar), obtemos formas mais amigáveis:
\begin{cases} -3x -2y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 3x + 2y,\\[4pt] 2x + y - z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 2x + y,\\[4pt] -4x -3y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 4x + 3y. \end{cases}
Essas três expressões para z\] devem ser iguais; comparando a primeira com a segunda:
\[3x + 2y = 2x + y \quad\Rightarrow\quad x + y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -x.\]
Verificando que isso também satisfaz a terceira igualdade: com \(y=-x, a segunda dá z = 2x + (-x) = x e a terceira dá z = 4x + 3(-x) = x. Tudo consistente.
com x\neq 0. Assim um autovetor associado a b=2 é \left[\begin{smallmatrix}1\\\\ -1\\\\ 1\end{smallmatrix}\right].]
Passo 4
Comparando com as opções: a 3ª coluna de P pode ser qualquer múltiplo desse autovetor. Multiplicando por 2 (para forçar a primeira coordenada ser 2, como nas opções) obtemos
ou seja, a terceira coordenada é 2. Então a 3ª coluna de P é múltipla de \left[\begin{smallmatrix}2\\\ \star\\\\ 2\end{smallmatrix}\right] (onde \star=-2 neste múltiplo). Isso corresponde à alternativa (A). As outras alternativas têm a terceira entrada 3,4,5 e, portanto, não podem ser múltiplos do autovetor encontrado (cuja terceira entrada é proporcional a 1, então ao fazer a primeira entrada 2 a terceira será 2, não 3,4 ou 5).