Q6: Sabemos que existe P inversível tal que:
\left[\begin{array}{rrr} -4 & -5 & 3 \\\\ 8 & 8 & -2 \\\\ 6 & 5 & -1 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b
A 3^{\text {a }} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}2 \\\ \star \\\\ -3\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}2 \\\ \star \\\\ -2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}2 \\\ \star \\\\ -1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}2 \\\ \star \\\\ 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{rrr} -4 & -5 & 3 \\\\ 8 & 8 & -2 \\\\ 6 & 5 & -1 \end{array}\right]
e afirma que existe matriz inversível P tal que
A = P \left[\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right] P^{-1},
com a<b.
A pergunta é: a 3^{\text{a}} coluna da matriz P é múltipla de qual vetor dentre as alternativas (A)–(D)?\n
Informações relevantes dadas:
\text{a matriz }A \text{ (com entradas explícitas)},\qquad A = P\,\operatorname{diag}(-2,a,b)\,P^{-1},\qquad a<b.í
O que precisamos responder: identificar, entre as alternativas, qual vetor é colinear com a terceira coluna de P.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): se A = P\,D\,P^{-1} com D diagonal, então as colunas de P são autovetores de A. Mais precisamente, se D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) e P=[v_1\\ v_2\\ v_3], então
A v_j = \lambda_j v_j\quad\text{para }j=1,2,3.
Ou seja, a j-ésima coluna de P é um autovetor correspondente ao autovalor \lambda_j que aparece na posição j da diagonal de D. Portanto, a 3^{\text{a}} coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor b. Nossa tarefa: achar um autovetor de A para o autovalor b; como não sabemos b ainda, primeiro precisamos encontrar os autovalores de A.

Passo 3

Vamos calcular os autovalores de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc} -4-\lambda & -5 & 3\\[4pt] 8 & 8-\lambda & -2\\[4pt] 6 & 5 & -1-\lambda \end{array}\right].
Calculamos o determinante (mostro passo a passo):
\det(A-\lambda I)=(-4-\lambda)\det\!\begin{pmatrix}8-\lambda & -2\\[2pt]5 & -1-\lambda\end{pmatrix} -(-5)\det\!\begin{pmatrix}8 & -2\\[2pt]6 & -1-\lambda\end{pmatrix} +3\det\!\begin{pmatrix}8 & 8-\lambda\\[2pt]6 & 5\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}8-\lambda & -2\\[2pt]5 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(8-\lambda)(-1-\lambda)+10=\lambda^{2}-7\lambda+2,
\det\!\begin{pmatrix}8 & -2\\[2pt]6 & -1-\lambda\end{pmatrix}=8(-1-\lambda)+12=4-8\lambda,
\det\!\begin{pmatrix}8 & 8-\lambda\\[2pt]6 & 5\end{pmatrix}=40-6(8-\lambda)=-8+6\lambda.
Substituindo:
\det(A-\lambda I)=(-4-\lambda)(\lambda^{2}-7\lambda+2)+5(4-8\lambda)+3(-8+6\lambda).
Expandindo cuidadosamente:
(-4-\lambda)(\lambda^{2}-7\lambda+2)=-\lambda^{3}+3\lambda^{2}+26\lambda-8,
5(4-8\lambda)=20-40\lambda,\qquad 3(-8+6\lambda)=-24+18\lambda.
Somando tudo:
\det(A-\lambda I)=-\lambda^{3}+3\lambda^{2}+26\lambda-8+20-40\lambda-24+18\lambda=-\lambda^{3}+3\lambda^{2}+4\lambda-12.
Multiplicando por -1 para ficar mais simples:
\lambda^{3}-3\lambda^{2}-4\lambda+12=0.
Testamos raízes inteiras: \lambda=2 é raiz, porque 8-12-8+12=0. Fazendo a divisão polinomial:
\lambda^{3}-3\lambda^{2}-4\lambda+12=(\lambda-2)(\lambda^{2}-\lambda-6)=(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+2).
Logo os autovalores são
\lambda=-2,\quad \lambda=2,\quad \lambda=3.
Pelo enunciado temos os autovalores -2,a,b com a<b, então necessariamente
a=2,\qquad b=3.
Portanto a 3^{\text{a}} coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda=3.]

Passo 4

Agora encontramos um autovetor de A\) para \(\lambda=3\). Resolvemos \((A-3I)v=0\). Escrevendo a matriz: \[A-3I=\left[\begin{array}{ccc} -7 & -5 & 3\\[2pt] 8 & 5 & -2\\[2pt] 6 & 5 & -4 \end{array}\right],
e seja v=(x,y,z)^{T}. Isso dá o sistema linear
\begin{cases} -7x-5y+3z=0,\\[4pt] 8x+5y-2z=0,\\[4pt] 6x+5y-4z=0. \end{cases}
Subtraindo a terceira equação da segunda:
(8x+5y-2z)-(6x+5y-4z)=0 \Longrightarrow 2x+2z=0 \Longrightarrow x=-z.
Substituindo x=-z\] na primeira equação: \[-7(-z)-5y+3z=0 \Longrightarrow 7z-5y+3z=0 \Longrightarrow 10z-5y=0 \Longrightarrow y=2z.\] Portanto um autovetor geral para \(\lambda=3 é
v=z\begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad z\neq 0.
Como colunas de P podem ser escaladas arbitrariamente (autovetores só definidos até múltiplo escalar), podemos escolher z=-2 para que a primeira coordenada fique 2:
z=-2 \Longrightarrow v=(2,-4,-2)^{T}.
Observe a terceira coordenada é -2. Olhando as alternativas, somente a alternativa (B) tem terceira coordenada -2:
(A) terceiro componente -3, (B) -2, (C) -1, (D) 0. Assim a terceira coluna de P é múltipla do vetor da alternativa (B).]

Resposta

(B)

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