O que precisamos responder: identificar, entre as alternativas, qual vetor é colinear com a terceira coluna de P.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): se A = P\,D\,P^{-1} com D diagonal, então as colunas de P são autovetores de A. Mais precisamente, se D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) e P=[v_1\\ v_2\\ v_3], então
A v_j = \lambda_j v_j\quad\text{para }j=1,2,3.
Ou seja, a j-ésima coluna de P é um autovetor correspondente ao autovalor \lambda_j que aparece na posição j da diagonal de D. Portanto, a 3^{\text{a}} coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor b. Nossa tarefa: achar um autovetor de A para o autovalor b; como não sabemos b ainda, primeiro precisamos encontrar os autovalores de A.
Passo 3
Vamos calcular os autovalores de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Substituindo x=-z\] na primeira equação:
\[-7(-z)-5y+3z=0 \Longrightarrow 7z-5y+3z=0 \Longrightarrow 10z-5y=0 \Longrightarrow y=2z.\]
Portanto um autovetor geral para \(\lambda=3 é
Como colunas de P podem ser escaladas arbitrariamente (autovetores só definidos até múltiplo escalar), podemos escolher z=-2 para que a primeira coordenada fique 2:
z=-2 \Longrightarrow v=(2,-4,-2)^{T}.
Observe a terceira coordenada é -2. Olhando as alternativas, somente a alternativa (B) tem terceira coordenada -2:
(A) terceiro componente -3, (B) -2, (C) -1, (D) 0. Assim a terceira coluna de P é múltipla do vetor da alternativa (B).]