Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Seja
uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo
cuja direção é preservada pela ação de
.
II - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Seja
II - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá duas afirmativas sobre matrizes e pede que eu diga qual das alternativas (A)–(D) está correta. As afirmativas são:
I - Seja
uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo
cuja direção é preservada pela ação de
.
II - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
As opções são:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 2
Vamos primeiro lembrar com calma o que significam as palavras-chave (isso é importante para entender as demonstrações que vêm a seguir).
Definição de autovalor e autovetor: um número
é autovalor da matriz
se existe um vetor não nulo
tal que
Esse
é chamado de autovetor correspondente a
. A condição
diz exatamente que a ação de
preserva a direção do vetor
(talvez alterando comprimento e sinal, pois multiplica por escala
).
Relação com determinante e polinômio característico:
é autovalor de
se e somente se
A função
é o polinômio característico de
; para uma matriz
ele tem grau
e coeficientes reais quando
tem entradas reais.
Passo 3
Prova da afirmativa I (passo a passo, didático):
- Considere
uma matriz com entradas reais. Forme o polinômio característico
Esse é um polinômio em
de grau
com coeficientes reais.
-
Teorema sobre polinômios reais: todo polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. (Intuição simples: para grau ímpar o termo dominante muda de sinal quando
e , logo pela continuidade do polinômio existe um ponto onde ele é zero; formalmente usa-se o Teorema do Valor Intermediário.) -
Aplicando isso a
— que tem grau — concluímos que existe tal que
- A condição
significa que a matriz não é invertível, portanto o sistema homogêneo tem solução não-trivial. Logo existe com
- Esse
é exatamente um vetor não-nulo cuja direção é preservada por . Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Observação/amigo: se a dimensão tivesse sido
(par), não podemos garantir sempre raiz real — por exemplo a matriz de rotação de
em
não tem autovetores reais. O caso ímpar é especial por causa do grau ímpar do polinômio característico.
Passo 4
Prova da afirmativa II (passo a passo, didático):
-
Queremos mostrar a validade da afirmação: “Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.” Vou trabalhar no contexto usual de matrizes com entradas reais (o enunciado não especifica campo diferente).
-
Primeiro a relação básica:
é autovalor de se e somente se . Explicando: colocar em dá . Se , então não é invertível, isto é, o núcleo (kernel) de não é trivial, então existe tal que ; isto mostra que é autovalor com autovetor . -
Agora raciocínio direto sobre a afirmação: suponha que
não tem autovetores (no espaço considerado, aqui ). Em particular, não é autovalor de (pois se fosse haveria autovetor não-nulo associado). Então . Mas é exatamente a condição que garante que é invertível (há o inverso ). Portanto tem inversa. -
Assim a implicação é verdadeira: a ausência de autovetores (no campo real, isto é, ausência de autovetores reais) implica que a matriz não tem autovalor
, logo é invertível. Concluímos que a afirmativa II também é verdadeira.
Exemplo que ajuda a entrar na intuição: a matriz de rotação em
por um ângulo
não múltiplo de
não tem autovetores reais (ela gira todo vetor), e essa matriz é invertível (determinante igual a
). Isso casa com a conclusão: ausência de autovetores reais e matriz inversível.
Passo 5
Resumo e comentário final (pra te motivar): mostramos que I é verdadeira usando o fato de que o polinômio característico de grau ímpar tem raiz real, e mostramos que II é verdadeira observando a equivalência entre ter
como autovalor e ser singular. Assim as duas afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(D)