Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Seja A_{3 \times 3} uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo \vec{v} \in \mathbb{R}^{3} cuja direção é preservada pela ação de A.
II - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmativas sobre matrizes e pede que eu diga qual das alternativas (A)–(D) está correta. As afirmativas são:
I - Seja A_{3\times 3} uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo \vec{v}\in\mathbb{R}^3 cuja direção é preservada pela ação de A.
II - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
As opções são:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 2

Vamos primeiro lembrar com calma o que significam as palavras-chave (isso é importante para entender as demonstrações que vêm a seguir).
Definição de autovalor e autovetor: um número \lambda é autovalor da matriz A se existe um vetor não nulo \vec{v} tal que
A\vec{v}=\lambda\vec{v}.
Esse \vec{v} é chamado de autovetor correspondente a \lambda. A condição A\vec{v}=\lambda\vec{v} diz exatamente que a ação de A preserva a direção do vetor \vec{v} (talvez alterando comprimento e sinal, pois multiplica por escala \lambda).
Relação com determinante e polinômio característico: \lambda é autovalor de A se e somente se
\det(A-\lambda I)=0.
A função p(\lambda)=\det(A-\lambda I) é o polinômio característico de A; para uma matriz n\times n ele tem grau n e coeficientes reais quando A tem entradas reais.

Passo 3

Prova da afirmativa I (passo a passo, didático):
  1. Considere A uma matriz 3\times 3 com entradas reais. Forme o polinômio característico
p(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Esse é um polinômio em \lambda de grau 3 com coeficientes reais.
  1. Teorema sobre polinômios reais: todo polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. (Intuição simples: para grau ímpar o termo dominante muda de sinal quando \lambda\to+\infty e \lambda\to-\infty, logo pela continuidade do polinômio existe um ponto onde ele é zero; formalmente usa-se o Teorema do Valor Intermediário.)
  2. Aplicando isso a p(\lambda) — que tem grau 3 — concluímos que existe \lambda_0\in\mathbb{R} tal que
p(\lambda_0)=\det(A-\lambda_0 I)=0.
  1. A condição \det(A-\lambda_0 I)=0 significa que a matriz A-\lambda_0 I não é invertível, portanto o sistema homogêneo (A-\lambda_0 I)\vec{v}=\vec{0} tem solução não-trivial. Logo existe \vec{v}\neq\vec{0} com
A\vec{v}=\lambda_0\vec{v}.
  1. Esse \vec{v} é exatamente um vetor não-nulo cuja direção é preservada por A. Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Observação/amigo: se a dimensão tivesse sido 2 (par), não podemos garantir sempre raiz real — por exemplo a matriz de rotação de \pi/2 em \mathbb{R}^2 não tem autovetores reais. O caso ímpar é especial por causa do grau ímpar do polinômio característico.

Passo 4

Prova da afirmativa II (passo a passo, didático):
  1. Queremos mostrar a validade da afirmação: “Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.” Vou trabalhar no contexto usual de matrizes com entradas reais (o enunciado não especifica campo diferente).
  2. Primeiro a relação básica: 0 é autovalor de A se e somente se \det(A)=0. Explicando: colocar \lambda=0 em \det(A-\lambda I)=0 \det(A)=0. Se \det(A)=0, então A não é invertível, isto é, o núcleo (kernel) de A não é trivial, então existe \vec{v}\neq\vec{0} tal que A\vec{v}=\vec{0}=0\cdot\vec{v}; isto mostra que 0 é autovalor com autovetor \vec{v}.
  3. Agora raciocínio direto sobre a afirmação: suponha que A não tem autovetores (no espaço considerado, aqui \mathbb{R}^n). Em particular, 0 não é autovalor de A (pois se fosse haveria autovetor não-nulo associado). Então \det(A)\neq 0. Mas \det(A)\neq 0 é exatamente a condição que garante que A é invertível (há o inverso A^{-1}). Portanto A tem inversa.
  4. Assim a implicação é verdadeira: a ausência de autovetores (no campo real, isto é, ausência de autovetores reais) implica que a matriz não tem autovalor 0, logo é invertível. Concluímos que a afirmativa II também é verdadeira.
Exemplo que ajuda a entrar na intuição: a matriz de rotação em \mathbb{R}^2 por um ângulo \theta não múltiplo de \pi não tem autovetores reais (ela gira todo vetor), e essa matriz é invertível (determinante igual a 1). Isso casa com a conclusão: ausência de autovetores reais e matriz inversível.

Passo 5

Resumo e comentário final (pra te motivar): mostramos que I é verdadeira usando o fato de que o polinômio característico de grau ímpar tem raiz real, e mostramos que II é verdadeira observando a equivalência entre ter 0 como autovalor e ser singular. Assim as duas afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(D)

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