Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n com \operatorname{det} A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I) O núcleo de A é {\overrightarrow{0}}.
II) Para todo \vec{b} o sistema linear A \vec{x}=\vec{b} possui solução.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz quadrada n\times n e que \det A = 0. Pergunta-se quais das duas afirmativas abaixo são verdadeiras:
I) O núcleo de A é \{\overrightarrow{0}\}.
II) Para todo \vec{b} o sistema linear A\vec{x}=\vec{b} possui solução.
Anotamos as informações relevantes dadas: \det A=0 e a necessidade de avaliar a veracidade de I e II.

Passo 2

Vamos recordar conceitos básicos (devagar e com jeitinho):
Definição do núcleo (ou núcleo nulo): o núcleo de A é
\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{0}\}.
Definição do espaço coluna: a imagem (ou espaço coluna) de A é
\operatorname{Im}(A)=\operatorname{Col}(A)=\operatorname{span}\{\text{colunas de }A\},
isto é, o conjunto de todos os vetores \vec{b} que podem ser escritos como A\vec{x} para algum \vec{x}. Portanto, o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem solução se, e somente se, \vec{b}\in\operatorname{Im}(A).

Passo 3

Relação entre determinante e inversibilidade (passo importante): para uma matriz quadrada A vale
\det A \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ é invertível}.éí
Se A é invertível então existe A^{-1} e a única solução de A\vec{x}=\vec{0} é \vec{x}=\vec{0}, porque multiplica-se por A^{-1} e obtém-se \vec{x}=A^{-1}\vec{0}=\vec{0}. Assim, para matrizes quadradas:
A\text{ invertível } \Longleftrightarrow \ker(A)=\{\vec{0}\}.í
Agora use isso com a hipótese do enunciado: temos \det A=0. Pela equivalência acima, isso significa que A não é invertível. Logo não é verdade que A é invertível, portanto não é verdade que \ker(A)=\{\vec{0}\}. Conclusão lógica: a afirmação I é falsa, pois \ker(A) contém vetores não-nulos (ou seja, \ker(A)\neq\{\vec{0}\}).

Passo 4

Explicando por que a afirmação II também é falsa: se A não é invertível então o posto (rank) de A satisfaz \operatorname{rank}(A)<n. Pelo teorema do posto-nulidade (rank-nullity) temos
\operatorname{rank}(A)+\dim\ker(A)=n,
então \dim\ker(A)\ge 1 e \operatorname{rank}(A)\le n-1. Como \operatorname{Im}(A) tem dimensão \operatorname{rank}(A)<n, ele é um subespaço próprio de \mathbb{R}^n. Portanto existem vetores \vec{b}\in\mathbb{R}^n que não pertencem a \operatorname{Im}(A). Para esses \vec{b} o sistema A\vec{x}=\vec{b} não tem solução. Assim a afirmação “para todo \vec{b} o sistema possui solução” é falsa.
Um exemplo concreto para fixar a ideia (muito útil na prova): tome
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui \det A=0. As colunas de A geram apenas os vetores da forma \begin{pmatrix}t\\[2pt]0\end{pmatrix}, isto é, \operatorname{Im}(A)=\{(t,0)^{T}:t\in\mathbb{R}\}. Se escolhermos \vec{b}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}, então \vec{b}\notin\operatorname{Im}(A) e o sistema
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\[2pt] x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}
é impossível (não existe (x_1,x_2)^T que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo). Assim comprovamos na prática que nem todo \vec{b} tem solução quando \det A=0.]

Passo 5

Resumo e conclusão lógica final: com \det A=0 vimos que \ker(A)\neq\{\vec{0}\} (portanto I é falsa) e que nem todo \vec{b} pertence à imagem de A (portanto II é falsa). Logo ambas as afirmativas I e II são falsas.

Resposta

(A)

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