Q4: Seja
uma matriz quadrada
com
. Considere as afirmativas abaixo:
I) O núcleo de
é {\overrightarrow{0}}.
II) Para todo
o sistema linear
possui solução.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I) O núcleo de
II) Para todo
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz quadrada
e que
. Pergunta-se quais das duas afirmativas abaixo são verdadeiras:
I) O núcleo de é
.
II) Para todo o sistema linear
possui solução.
Anotamos as informações relevantes dadas: e a necessidade de avaliar a veracidade de I e II.
I) O núcleo de
II) Para todo
Anotamos as informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos recordar conceitos básicos (devagar e com jeitinho):
Definição do núcleo (ou núcleo nulo): o núcleo de é
Definição do núcleo (ou núcleo nulo): o núcleo de
Definição do espaço coluna: a imagem (ou espaço coluna) de
é
isto é, o conjunto de todos os vetores
que podem ser escritos como
para algum
. Portanto, o sistema
tem solução se, e somente se,
.
Passo 3
Relação entre determinante e inversibilidade (passo importante): para uma matriz quadrada
vale
Se
é invertível então existe
e a única solução de
é
, porque multiplica-se por
e obtém-se
. Assim, para matrizes quadradas:
Agora use isso com a hipótese do enunciado: temos
. Pela equivalência acima, isso significa que
não é invertível. Logo não é verdade que
é invertível, portanto não é verdade que
. Conclusão lógica: a afirmação I é falsa, pois
contém vetores não-nulos (ou seja,
).
Passo 4
Explicando por que a afirmação II também é falsa: se
não é invertível então o posto (rank) de
satisfaz
. Pelo teorema do posto-nulidade (rank-nullity) temos
então
e
. Como
tem dimensão
, ele é um subespaço próprio de
. Portanto existem vetores
que não pertencem a
. Para esses
o sistema
não tem solução. Assim a afirmação “para todo
o sistema possui solução” é falsa.
Um exemplo concreto para fixar a ideia (muito útil na prova): tome
Aqui
. As colunas de
geram apenas os vetores da forma
, isto é,
. Se escolhermos
, então
e o sistema
é impossível (não existe
que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo). Assim comprovamos na prática que nem todo
tem solução quando
.]
Passo 5
Resumo e conclusão lógica final: com
vimos que
(portanto I é falsa) e que nem todo
pertence à imagem de
(portanto II é falsa). Logo ambas as afirmativas I e II são falsas.
Resposta
(A)