Q6: Sabemos que existe P inversível tal que:
\left[\begin{array}{rrr}4 & 6 & -6 \\\\ -6 & -8 & 6 \\\\ -4 & -5 & 3\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b\end{array}\right] P^{-1} \quad com \quad a<b.
A 3^{\mathrm{a}} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}-2 \\\ \star \\\\ -2\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}-2 \\\ \star \\\\ -1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}-2 \\\ \star \\\\ 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}-2 \\\ \star \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\begin{pmatrix}4 & 6 & -6 \\\\ -6 & -8 & 6 \\\\ -4 & -5 & 3\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & a & 0 \\[4pt] 0 & 0 & b\end{pmatrix}P^{-1},
com a<b. Pergunta qual das alternativas indica um vetor que multiplica a 3^{\text{a}} coluna de P. As alternativas dão vetores cuja primeira componente é -2 e cuja terceira componente é, respectivamente, -2,-1,0,1 (com a segunda componente marcada por \star, ou seja, livre para escala).
Informações relevantes dadas: a matriz do lado esquerdo é conhecida (vou chamar de A), existe inversível P que a diagonaliza para a diagonal com entradas -2,a,b, e é dito que a<b. Não há ainda solução; apenas identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.]

Passo 2

Entendendo o que a igualdade implica (aula rápida e concreta). Quando uma matriz A satisfaz
A = P D P^{-1}
com D diagonal, as entradas da diagonal de D são autovalores (eigenvalues) de A e as colunas de P são autovetores (eigenvectors) correspondentes a esses autovalores. Mais precisamente: se
D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3),
a coluna j de P é um vetor não nulo v_j tal que Av_j=\lambda_j v_j. Portanto, a 3^{\text{a}} coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor que está na posição (3,3) de D, isto é, ao autovalor b. Logo precisamos encontrar qual é o autovalor b (o maior entre a e b) e seu espaço próprio para ver a forma do autovetor.

Passo 3

Vamos achar os autovalores de A calculando o polinômio característico \det(A-\lambda I). Escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} 4-\lambda & 6 & -6\\[4pt] -6 & -8-\lambda & 6\\[4pt] -4 & -5 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Calculo o determinante (mostrando as contas passo a passo):
\det(A-\lambda I)=(4-\lambda)\det\begin{pmatrix}-8-\lambda & 6\\[4pt]-5 & 3-\lambda\end{pmatrix} -6\det\begin{pmatrix}-6 & 6\\[4pt]-4 & 3-\lambda\end{pmatrix} -6\det\begin{pmatrix}-6 & -8-\lambda\\[4pt]-4 & -5\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}-8-\lambda & 6\\[4pt]-5 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(-8-\lambda)(3-\lambda)-6(-5)=\lambda^2+5\lambda+6.
\det\begin{pmatrix}-6 & 6\\[4pt]-4 & 3-\lambda\end{pmatrix} =-6(3-\lambda)-6(-4)=6(\lambda+1).
\det\begin{pmatrix}-6 & -8-\lambda\\[4pt]-4 & -5\end{pmatrix} =(-6)(-5)-(-8-\lambda)(-4)=30-(32+4\lambda)=-2-4\lambda.
Substituindo:
\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &=(4-\lambda)(\lambda^2+5\lambda+6)-6\cdot6(\lambda+1)-6(-2-4\lambda)\\[4pt] &=(4-\lambda)(\lambda^2+5\lambda+6)-36(\lambda+1)+12+24\lambda. \end{aligned}
Expandindo o primeiro produto:
(4-\lambda)(\lambda^2+5\lambda+6)=-\lambda^3-\lambda^2+14\lambda+24.
Somando os outros termos:
-\lambda^3-\lambda^2+14\lambda+24-36\lambda-36+12+24\lambda =-\lambda^3-\lambda^2+2\lambda.
Logo
\det(A-\lambda I)=-\lambda(\lambda^2+\lambda-2)=-\lambda(\lambda+2)(\lambda-1).
As raízes são \lambda=0,\,-2,\,1. Assim os autovalores de A são \{ -2,\,0,\,1\}.]

Passo 4

Relacionando com o enunciado: como a diagonal dada no enunciado tem -2,a,b e sabemos que os autovalores reais de A são -2,0,1, devemos ter \{a,b\}=\{0,1\}. Como o enunciado exige a<b, segue que
a=0,\qquad b=1.
Portanto a 3^{\text{a}} coluna de P é um autovetor associado ao autovalor b=1. Agora precisamos encontrar um autovetor de A para \lambda=1 e comparar com as alternativas.

Passo 5

Calculo o espaço próprio para \lambda=1\), isto é, resolvo \((A-I)v=0\). A matriz \(A-I\) é \[A-I=\begin{pmatrix}3 & 6 & -6\\[4pt]-6 & -9 & 6\\[4pt]-4 & -5 & 2\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^{T} satisfaz (A-I)v=0, temos o sistema
\begin{cases} 3x+6y-6z=0,\\[4pt] -6x-9y+6z=0,\\[4pt] -4x-5y+2z=0. \end{cases}
Faço redução de modo direto (mostrar os passos algébricos):
  • Da primeira equação, dividindo por 3\]: \[x+2y-2z=0 \quad\Rightarrow\quad x=2z-2y.\] - Multiplico a primeira por \(2 e somo com a segunda para eliminar x:
2(3x+6y-6z)+(-6x-9y+6z)=0 \Rightarrow 3y-6z=0 \Rightarrow y=2z.
  • Substituindo y=2z na expressão para x:
x=2z-2(2z)=2z-4z=-2z.
Verifico a terceira equação para garantir consistência: substituindo x=-2z e y=2z em -4x-5y+2z
-4(-2z)-5(2z)+2z=8z-10z+2z=0,
portanto consistente. Assim os vetores próprios para \lambda=1 são múltiplos de
\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},
ou seja, todo autovetor tem forma z\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix} com z\neq0.]

Passo 6

Comparando com as alternativas: elas afirmam que a 3^{\text{a}} coluna de P é múltipla de um vetor cuja primeira componente é -2 e cuja terceira componente é, nas opções, -2,-1,0,1. Encontramos que, para \lambda=1, o autovetor tem terceira componente 1 (e segunda componente 2, que corresponde ao \star livre da alternativa). Portanto a alternativa correta é a que tem terceira componente igual a 1, ou seja a alternativa (D).

Resposta

(D)

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