com a<b. Pergunta qual das alternativas indica um vetor que multiplica a 3^{\text{a}} coluna de P. As alternativas dão vetores cuja primeira componente é -2 e cuja terceira componente é, respectivamente, -2,-1,0,1 (com a segunda componente marcada por \star, ou seja, livre para escala).
Informações relevantes dadas: a matriz do lado esquerdo é conhecida (vou chamar de A), existe inversível P que a diagonaliza para a diagonal com entradas -2,a,b, e é dito que a<b. Não há ainda solução; apenas identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.]
Passo 2
Entendendo o que a igualdade implica (aula rápida e concreta). Quando uma matriz A satisfaz
A = P D P^{-1}
com D diagonal, as entradas da diagonal de D são autovalores (eigenvalues) de A e as colunas de P são autovetores (eigenvectors) correspondentes a esses autovalores. Mais precisamente: se
a coluna j de P é um vetor não nulo v_j tal que Av_j=\lambda_j v_j. Portanto, a 3^{\text{a}} coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor que está na posição (3,3) de D, isto é, ao autovalor b. Logo precisamos encontrar qual é o autovalor b (o maior entre a e b) e seu espaço próprio para ver a forma do autovetor.
Passo 3
Vamos achar os autovalores de A calculando o polinômio característico \det(A-\lambda I). Escrevo A-\lambda I:
As raízes são \lambda=0,\,-2,\,1. Assim os autovalores de A são \{ -2,\,0,\,1\}.]
Passo 4
Relacionando com o enunciado: como a diagonal dada no enunciado tem -2,a,b e sabemos que os autovalores reais de A são -2,0,1, devemos ter \{a,b\}=\{0,1\}. Como o enunciado exige a<b, segue que
a=0,\qquad b=1.
Portanto a 3^{\text{a}} coluna de P é um autovetor associado ao autovalor b=1. Agora precisamos encontrar um autovetor de A para \lambda=1 e comparar com as alternativas.
Passo 5
Calculo o espaço próprio para \lambda=1\), isto é, resolvo \((A-I)v=0\). A matriz \(A-I\) é
\[A-I=\begin{pmatrix}3 & 6 & -6\\[4pt]-6 & -9 & 6\\[4pt]-4 & -5 & 2\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^{T} satisfaz (A-I)v=0, temos o sistema
Faço redução de modo direto (mostrar os passos algébricos):
Da primeira equação, dividindo por 3\]:
\[x+2y-2z=0 \quad\Rightarrow\quad x=2z-2y.\]
- Multiplico a primeira por \(2 e somo com a segunda para eliminar x:
Verifico a terceira equação para garantir consistência: substituindo x=-2z e y=2z em -4x-5y+2z dá
-4(-2z)-5(2z)+2z=8z-10z+2z=0,
portanto consistente. Assim os vetores próprios para \lambda=1 são múltiplos de
\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},
ou seja, todo autovetor tem forma z\begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix} com z\neq0.]
Passo 6
Comparando com as alternativas: elas afirmam que a 3^{\text{a}} coluna de P é múltipla de um vetor cuja primeira componente é -2 e cuja terceira componente é, nas opções, -2,-1,0,1. Encontramos que, para \lambda=1, o autovetor tem terceira componente 1 (e segunda componente 2, que corresponde ao \star livre da alternativa). Portanto a alternativa correta é a que tem terceira componente igual a 1, ou seja a alternativa (D).