Q2 - Sejam as letras A, E, I, M, O, T, U. Consideram-se todas as palavras de 7 letras que podem ser formadas usando cada uma dessas letras exatamente uma vez (ou seja, todas as permutações das sete letras). Ordene essas palavras em ordem alfabética crescente. Qual é a 2117. { }^{\text {a }} palavra dessa lista? Justifique sua resposta mostrando o método ou os cálculos utilizados.

Passo 1

O enunciado dá as letras A, E, I, M, O, T, U e pede: considerar todas as palavras de 7 letras formadas usando cada letra exatamente uma vez (todas as permutações das sete letras), ordenar essas palavras em ordem alfabética crescente e achar qual é a \,2117^\text{a}\, palavra dessa lista. Informações relevantes: todas as permutações têm comprimento 7; a ordem alfabética usada é a usual entre as letras dadas: A < E < I < M < O < T < U. O problema exige que mostremos o método e os cálculos utilizados.

Passo 2

Entender o número total de permutações e como se organiza a lista em blocos. Se temos n letras distintas, o número de permutações é
n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1.
Aqui n=7, então o total é
7! = 5040.
Quando ordenamos lexicograficamente (alfabeticamente) todas as permutações, as palavras que começam por uma mesma letra aparecem em um bloco contíguo. O tamanho desse bloco, quando fixamos a primeira letra, é o número de permutações das 6 letras restantes:
6! = 720.
Portanto, na lista ordenada, há 720 palavras começando por A, depois 720 começando por E, e assim por diante.

Passo 3

Estratégia geral (explicação didática do método): para encontrar a \,k^\text{a}\, palavra (aqui k=2117), procedemos posição a posição (primeira letra, segunda letra, …) decidindo qual letra ocupa cada posição. Para decidir a letra da posição 1, dividimos k em blocos de tamanho 6!; o quociente indica qual letra (na ordem alfabética entre as ainda disponíveis) ocupa a posição. Depois atualizamos k subtraindo os blocos anteriores e repetimos com o número de permutações das letras restantes. Formalmente, se sobraram m letras para preencher e queremos a posição local r (rank entre 1 e m!), cada escolha fixa um bloco de tamanho (m-1)!.
Vou aplicar isso passo a passo com k=2117. Sempre que eu usar ‘índice’ abaixo, é no sentido zero-based: índice 0 é a primeira letra disponível em ordem alfabética, índice 1 é a segunda, etc. E sempre que eu calcular um quociente eu usarei a fórmula \text{índice}=\left\lfloor\frac{k-1}{(m-1)!}\right\rfloorí e depois atualizo k \leftarrow k - \text{índice}\cdot (m-1)!í.

Passo 4

Decidindo a primeira letra. Temos m=7 letras disponíveis e bloco por letra de tamanho (7-1)! = 6! = 720. Calculo o índice:
\text{índice}_1 = \left\lfloor\frac{2117-1}{720}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{2116}{720}\right\rfloor = 2.í
As letras disponíveis em ordem são [A, E, I, M, O, T, U]. O índice 2 (zero-based) corresponde à letra I. Portanto a primeira letra é I.
Atualizo o rank dentro do bloco das palavras que começam por I:
k \leftarrow 2117 - 2\cdot 720 = 2117 - 1440 = 677.
Agora procuramos a 677^\text{a} palavra entre as que começam por I.

Passo 5

Decidindo a segunda letra. Sobram as letras [A, E, M, O, T, U] (em ordem) — repare que tirei o I. Aqui m=6 e cada escolha de segunda letra gera (6-1)! = 5! = 120 permutações das restantes. Calculo:
\text{índice}_2 = \left\lfloor\frac{677-1}{120}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{676}{120}\right\rfloor = 5.í
Na lista [A, E, M, O, T, U] o índice 5 corresponde à letra U. Então a segunda letra é U.
Atualizo k:
k \leftarrow 677 - 5\cdot 120 = 677 - 600 = 77.
Agora procuramos a 77^\text{a} palavra entre as que começam por IU.

Passo 6

Decidindo a terceira letra. Sobram [A, E, M, O, T]. Aqui m=5 e cada escolha de terceira letra gera (5-1)! = 4! = 24 permutações das restantes. Calculo:
\text{índice}_3 = \left\lfloor\frac{77-1}{24}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{76}{24}\right\rfloor = 3.í
Na lista [A, E, M, O, T] o índice 3 corresponde à letra O. Logo a terceira letra é O.
Atualizo k:
k \leftarrow 77 - 3\cdot 24 = 77 - 72 = 5.
Agora procuramos a 5^\text{a} palavra entre as que começam por IUO.

Passo 7

Decidindo a quarta letra. Sobram [A, E, M, T]. Aqui m=4 e cada escolha gera (4-1)! = 3! = 6 permutações das restantes. Calculo:
\text{índice}_4 = \left\lfloor\frac{5-1}{6}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{4}{6}\right\rfloor = 0.í
Índice 0 corresponde à primeira letra disponível, que é A. Então a quarta letra é A.
Atualizo k:
k \leftarrow 5 - 0\cdot 6 = 5.
Agora procuramos a 5^\text{a} palavra entre as que começam por IUOA.

Passo 8

Decidindo a quinta letra. Sobram [E, M, T]. Aqui m=3 e cada escolha gera (3-1)! = 2! = 2 permutações das restantes. Calculo:
\text{índice}_5 = \left\lfloor\frac{5-1}{2}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{4}{2}\right\rfloor = 2.í
Na lista [E, M, T] o índice 2 corresponde à letra T. Então a quinta letra é T.
Atualizo k:
k \leftarrow 5 - 2\cdot 2 = 5 - 4 = 1.
Agora procuramos a 1^\text{a} palavra entre as que começam por IUOAT (ou seja, a primeira entre essas).

Passo 9

Decidindo a sexta e sétima letras. Sobram [E, M] e k=1. Para a sexta letra cada escolha gera (2-1)! = 1! = 1 permutação da última posição. Calculo:
\text{índice}_6 = \left\lfloor\frac{1-1}{1}\right\rfloor = 0,í
índice 0 corresponde à letra E. Então a sexta letra é E. A última letra será a que sobra, M.
Montando tudo: primeira I, segunda U, terceira O, quarta A, quinta T, sexta E, sétima M. A palavra é IUOATEM.

Resposta

IUOATEM

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