Q3 - Uma senha de acesso é formada por 5 caracteres distintos, escolhidos entre as 10 letras (
, G, H, I, J). Sabendo que a primeira letra deve ser uma vogal e a última uma consoante, de quantas maneiras diferentes essa senha pode ser formada?
Passo 1
O enunciado dá uma senha formada por 5 caracteres distintos, escolhidos entre as 10 letras
. As condições são:
- a primeira letra deve ser uma vogal;
- a última letra deve ser uma consoante;
- todos os
caracteres devem ser distintos.
Do enunciado identificamos quantas vogais e consoantes há entre as
letras: as vogais são
(ou seja,
vogais) e as consoantes são as outras
letras (ou seja,
consoantes). O que se pede: número de senhas diferentes de comprimento
que respeitem essas restrições.
Passo 2
Ideia geral (sem calcular ainda): vamos contar opções posição a posição e multiplicar as quantidades de escolha de cada posição, porque cada escolha independente multiplica as possibilidades (princípio multiplicativo). Vou aplicar isso diretamente às posições: primeira, as três do meio (2ª, 3ª, 4ª) e última.
Passo 3
Explicando o princípio multiplicativo e permutações (mini-aula rápida):
- Se você precisa tomar etapas sequenciais e a etapa 1 tem
opções, a etapa 2 tem opções (independente da 1), então o total de sequências de escolhas é . - Quando escolhemos
objetos distintos e ordenados a partir de um conjunto de objetos (sem repetição), o número de maneiras é a permutação . A fórmula é
Aqui
significa fatorial de
(produto dos inteiros de
até
), e
é quantos objetos escolhemos ordenadamente.
Passo 4
Contando a primeira posição: como a primeira letra deve ser uma vogal e temos
vogais (
), há
opções para a primeira posição.
Passo 5
Contando a última posição: a última deve ser uma consoante. No conjunto inicial há
consoantes, e escolher a primeira (que foi obrigatoriamente uma vogal) não reduz esse número, pois vogais e consoantes são disjuntas. Portanto, antes de considerar as demais posições, para a última posição há
opções.
Passo 6
Contando as três posições do meio (2ª, 3ª e 4ª): depois de fixar a primeira (uma vogal) e a última (uma consoante), já foram usados
caracteres distintos, restando
letras disponíveis. Nas três posições do meio precisamos escolher
letras distintas e ordenadas a partir dessas
. Pelo conceito de permutação,
Calculando esse produto:
Passo 7
Agora aplicamos o princípio multiplicativo juntando todas as escolhas:
-
escolhas para a 1ª posição, -
escolhas para as posições 2–4, -
escolhas para a última posição.
Multiplicando:
Calculemos passo a passo: