Q3 - Uma senha de acesso é formada por 5 caracteres distintos, escolhidos entre as 10 letras ( \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}, G, H, I, J). Sabendo que a primeira letra deve ser uma vogal e a última uma consoante, de quantas maneiras diferentes essa senha pode ser formada?

Passo 1

O enunciado dá uma senha formada por 5 caracteres distintos, escolhidos entre as 10 letras \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H},\mathrm{I},\mathrm{J}. As condições são:
  • a primeira letra deve ser uma vogal;
  • a última letra deve ser uma consoante;
  • todos os 5 caracteres devem ser distintos.
Do enunciado identificamos quantas vogais e consoantes há entre as 10 letras: as vogais são \mathrm{A},\mathrm{E},\mathrm{I} (ou seja, 3 vogais) e as consoantes são as outras 7 letras (ou seja, 7 consoantes). O que se pede: número de senhas diferentes de comprimento 5 que respeitem essas restrições.

Passo 2

Ideia geral (sem calcular ainda): vamos contar opções posição a posição e multiplicar as quantidades de escolha de cada posição, porque cada escolha independente multiplica as possibilidades (princípio multiplicativo). Vou aplicar isso diretamente às posições: primeira, as três do meio (2ª, 3ª, 4ª) e última.

Passo 3

Explicando o princípio multiplicativo e permutações (mini-aula rápida):
  • Se você precisa tomar etapas sequenciais e a etapa 1 tem a opções, a etapa 2 tem b opções (independente da 1), então o total de sequências de escolhas é a\cdot b.
  • Quando escolhemos k objetos distintos e ordenados a partir de um conjunto de n objetos (sem repetição), o número de maneiras é a permutação P(n,k). A fórmula é
P(n,k)=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}.
Aqui n! significa fatorial de n (produto dos inteiros de 1 até n), e k é quantos objetos escolhemos ordenadamente.

Passo 4

Contando a primeira posição: como a primeira letra deve ser uma vogal e temos 3 vogais ( \mathrm{A},\mathrm{E},\mathrm{I}), há
3
opções para a primeira posição.

Passo 5

Contando a última posição: a última deve ser uma consoante. No conjunto inicial há 7 consoantes, e escolher a primeira (que foi obrigatoriamente uma vogal) não reduz esse número, pois vogais e consoantes são disjuntas. Portanto, antes de considerar as demais posições, para a última posição há
7
opções.

Passo 6

Contando as três posições do meio (2ª, 3ª e 4ª): depois de fixar a primeira (uma vogal) e a última (uma consoante), já foram usados 2 caracteres distintos, restando 10-2=8 letras disponíveis. Nas três posições do meio precisamos escolher 3 letras distintas e ordenadas a partir dessas 8. Pelo conceito de permutação,
\text{nº de modos para as posições 2,3,4} = P(8,3)=8\cdot 7\cdot 6.ºçõ
Calculando esse produto:
8\cdot 7\cdot 6 = 336.

Passo 7

Agora aplicamos o princípio multiplicativo juntando todas as escolhas:
  • 3 escolhas para a 1ª posição,
  • 336 escolhas para as posições 2–4,
  • 7 escolhas para a última posição.
Multiplicando:
3\cdot 336\cdot 7 = 3\cdot 7\cdot 336.
Calculemos passo a passo:
3\cdot 7=21,
21\cdot 336 = 21\cdot (300+36)=21\cdot 300 + 21\cdot 36 = 6300 + 756 = 7056.

Resposta

7056

Exercícios relacionados