Q7.5 Um professor de física suspende uma bola de boliche ligada por uma corda longa ao teto de um grande anfiteatro usado para conferências. Para ilustrar sua crença na lei da conservação da energia, ele vai para um dos lados do tablado, puxa a bola para esse lado até que ela fique em contato com seu nariz, e a seguir a liberta. A bola oscila ao longo de um grande arco por sobre o tablado, depois retorna e para momentaneamente bem diante do nariz do destemido professor. Contudo, um dia depois da primeira demonstração, ele se distrai ao olhar para um aluno que estava do outro lado do tablado e empurra a bola para um ponto mais além da posição de seu nariz e repete a experiência. Conte o resto dessa história e explique a razão de seu final potencialmente trágico.
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e do que pede:
- O professor suspende uma bola de boliche por uma corda longa (um pêndulo). Ele puxa a bola até que ela toque o seu nariz e solta; a bola vai até o outro lado, volta e para momentaneamente bem diante do seu nariz.
- No dia seguinte ele puxa a bola mais além da posição do nariz (isto é, a posição inicial é mais elevada que a posição “toque no nariz”) e repete.
O que você me pede: continuar a história (o que acontece nesse segundo caso) e explicar por que o final pode ser perigoso.
Informações relevantes dadas: a bola faz movimento de pêndulo, desprezamos atritos grandes na demonstração original (a conservação de energia é invocada na demonstração).
Passo 2
Conceitos físicos básicos necessários (explicados devagar e sem pular etapas):
- Energia potencial gravitacional: para um corpo de massa
elevado a uma altura acima de uma referência, a energia potencial é
onde
é a aceleração da gravidade (aprox.
). Aqui
é a massa da bola,
é a altura vertical do centro da bola medida a partir de um nível de referência que escolhermos (por exemplo, o ponto mais baixo do pêndulo).
- Energia cinética: quando o corpo tem velocidade
,
- Conservação da energia mecânica (no caso ideal, sem perdas importantes por atrito e colisões plásticas): a soma
mantém-se constante durante o movimento do pêndulo. Ou seja, se a bola desce ela perde e ganha ; ao subir o contrário.
Vou sempre explicar o que cada símbolo significa quando eu usar uma fórmula.
Passo 3
Geometria simples do pêndulo e como calcular a altura em função do ângulo:
- Seja
o comprimento da corda (da fixação no teto até o centro da bola). - Meça o ângulo
a partir da vertical. Quando a bola está exatamente abaixo do ponto de fixação, . Quando a bola é puxada para um ângulo (lado qualquer), a altura vertical relativa ao ponto mais baixo é
Explicação do porquê: a coordenada vertical da bola, se tomarmos o ponto mais baixo como referência zero, é
. Desse
tiramos a expressão acima. Assim, quanto maior
, maior a elevação
.
Passo 4
Energia ao soltar e energia ao passar por outra posição: fórmula geral
- Suponha que a bola seja solta a partir de um ângulo inicial
(posição inicial, mais elevada). Em seguida, quando ela alcança um ângulo qualquer (por exemplo, quando passa pela posição do nariz do professor), a diferença de energia potencial vira energia cinética. Usando e conservação da energia:
- Subtraindo
dos dois lados e simplificando , obtemos a velocidade ao alcançar :
Substituindo
temos, após simplificar,
Observação sobre os sinais: se
(ou seja, a bola foi solta de uma posição mais alta do que
), então
e o lado direito é positivo, ou seja,
é real e não nulo.
Passo 5
Aplicando isso à posição do nariz e ao caso seguro (primeiro dia)
- Denotemos por
o ângulo correspondente à posição em que a bola toca o nariz do professor. No primeiro dia o professor soltou a bola de . Usando a fórmula do passo anterior para a velocidade na posição do nariz:
- Se
, então
ou seja,
. Isso explica o que o enunciado relatou: a bola volta e para momentaneamente bem diante do nariz — ela chega exatamente ao nível de onde foi solta e pára, portanto não existe impacto dinâmico contra o nariz (apenas toque sem velocidade).
Passo 6
E agora o segundo dia: por que é perigoso ter puxado além do nariz
- No segundo dia o professor soltou a bola a partir de um ângulo inicial maior:
. Então, ao voltar da outra extremidade e passar pela posição do nariz ( ), a velocidade não será zero. Pela fórmula:
porque
quando
.
- Interpretação física óbvia: a bola ainda está em movimento (tem velocidade) quando alcança a posição do nariz, porque o ponto de inversão (o ponto mais alto, onde a velocidade seria zero) é mais além, no próprio ponto de soltura. Como o nariz do professor ocupa essa região entre o fundo do pêndulo e o ponto de inversão, a bola atinge o nariz com velocidade significativa — isto é um impacto, não um toque suave.
- Consequência prática: um impacto de uma bola de boliche (massa grande) a velocidade não nula provoca uma grande transferência de momento e energia num tempo curto — isto pode quebrar ossos, causar hemorragia, fraturas no nariz e ferimentos graves.
Passo 7
Exemplo numérico (para sentir a ordem de grandeza)
- Suponha
, e . Calculemos aproximadamente a velocidade ao passar pelo nariz:
Usando
e
,
- Uma bola de boliche com massa
a tem impulso e energia consideráveis; um choque desses contra o rosto pode ser muito sério. Isso dá uma ideia concreta do perigo.
Passo 8
Resumo físico e moral da história (tom amigo e encorajador)
- Moral: a conservação de energia garante que a bola retorna à mesma altura de onde foi solta. Se você solta a bola tocando levemente o nariz, ela volta e para levemente nesse mesmo ponto. Se você solta a bola de uma posição mais alta do que o nariz, quando a bola voltar ela ainda estará em movimento ao passar pelo nariz e vai bater — e isso pode ser grave.
- Conselho prático: nunca fique na linha de trânsito do pêndulo, e não confie só na hipótese de “vai parar no meu nariz” — pequenos deslizes na posição de soltura podem levar a impactos sérios.
Resposta
A bola atingirá violentamente o professor (possivelmente quebrando o nariz), porque ao soltar a bola além da posição do nariz ela retorna com velocidade não nula ao passar pela posição do nariz — pela conservação de energia a bola só pára no ponto onde foi inicialmente solta; se esse ponto está além do nariz, o nariz fica entre o fundo do pêndulo e o ponto de inversão e, portanto, a bola colide com velocidade, causando o dano.