Q6.24 Considerando que é necessário um trabalho W para alongar uma mola por uma distância x a partir de seu comprimento sem deformação, qual trabalho (em termos de W ) é necessário para alongar a mola por uma distância adicional x ?

Passo 1

O enunciado diz: é necessário um trabalho W para alongar uma mola por uma distância x a partir do comprimento natural (ou seja, do repouso). Pede-se: qual trabalho (em termos de W) é necessário para alongar a mesma mola por uma distância adicional x — isto é, para ir de extensão x até extensão 2x.
Informações relevantes fornecidas:
  • Trabalho para ir de 0 até x é W.
  • Queremos o trabalho para ir de x até 2x.

Passo 2

Conceito básico (aula rápida): para uma mola linear vale a Lei de Hooke, que diz que a força elástica restauradora tem a forma \\ F(x)=k x, onde \\ k é a constante da mola e \\ x é a deformação (alongamento) medida a partir da posição de equilíbrio.
O trabalho realizado para alongar a mola de 0 até uma extensão X é a energia potencial elástica acumulada, dada por
\frac{1}{2}kX^{2}.
Explicando a fórmula: fazemos o trabalho igual à integral da força externa aplicada ao longo do deslocamento,
\text{Trabalho}=\int_{0}^{X} kx\,dx = \left.\frac{1}{2}kx^{2}\right|_{0}^{X}=\frac{1}{2}kX^{2}.
Aqui \\ k é a constante da mola (medida em N/m), x é a variável de integração (em m) e X é a extensão final.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao trecho conhecido: o trabalho para ir de 0 até x é dado por
W=\frac{1}{2}k x^{2}.
Isso nos permite relacionar k com W. Resolvendo para k:
k=\frac{2W}{x^{2}}.

Passo 4

Agora calculo o trabalho total para alongar a mola de 0 até 2x. Usando a fórmula da energia potencial com X=2x,
\text{Trabalho}_{0\to 2x}=\frac{1}{2}k(2x)^{2}.
Desenvolvendo:
\frac{1}{2}k(2x)^{2}=\frac{1}{2}k\cdot 4x^{2}=2k x^{2}.
Substituindo k em termos de W (usando k=\dfrac{2W}{x^{2}}):
2k x^{2}=2\left(\frac{2W}{x^{2}}\right)x^{2}=2\cdot 2W=4W.
Portanto, o trabalho para ir de 0 até 2x é 4W.

Passo 5

O trabalho adicional pedido no enunciado é o trabalho para ir de x até 2x. Isso é a diferença entre o trabalho total até 2x e o trabalho já gasto para ir até x:
\text{Trabalho}_{x\to 2x}=\text{Trabalho}_{0\to 2x}-\text{Trabalho}_{0\to x}=4W-W=3W.

Passo 6

Intuição geométrica (rápida para fixar): no gráfico força F versus deslocamento x temos uma reta passando por zero ( F=kx ). O trabalho é a área sob essa reta. A área de 0 a x é um triângulo com área W. A área de 0 a 2x é um triângulo quatro vezes maior (porque base dobrou e altura dobrou), ou seja 4W. A diferença (a área entre x e 2x) é três desses triângulos, logo 3W. Isso ajuda a memorizar.

Resposta

3W

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