Q7:
Em qual dos sistemas lineares abaixo (nas variáveis
e
) o conjunto-solução tem dimensão 1 ?
Em qual dos sistemas lineares abaixo (nas variáveis
Passo 1
O enunciado pergunta: “Em qual dos sistemas lineares abaixo (nas variáveis
e
) o conjunto‑solução tem dimensão
?”
Informações dadas no enunciado recebido por mim: nenhum dos sistemas foi incluído — ou seja, não há as equações dos sistemas abaixo. Portanto não há sistemas concretos para eu testar.
Informações dadas no enunciado recebido por mim: nenhum dos sistemas foi incluído — ou seja, não há as equações dos sistemas abaixo. Portanto não há sistemas concretos para eu testar.
Passo 2
O que significa "conjunto‑solução ter dimensão
"? Vou explicar passo a passo, de um jeito bem prático, para você aplicar na hora da prova.
- Primeiro conceito: dado um sistema linear nas variáveis
, escrevemos a matriz dos coeficientes (tem 3 colunas, uma por variável). - Segundo conceito: a dimensão do espaço dos vetores solução (quando o sistema é compatível) é o número de variáveis livres. Para um sistema com 3 incógnitas vale a fórmula
Aqui
é o posto (rank) da matriz dos coeficientes — o número de linhas/colunas linearmente independentes da matriz
.
- Ter dimensão
significa que há exatamente uma grandeza livre na solução. Usando a fórmula acima isso equivale a
Logo: para que o conjunto‑solução tenha dimensão
é necessário que a matriz dos coeficientes tenha posto
e que o sistema seja compatível (ou seja, as equações não entrem em contradição).
Passo 3
Como testar isso, passo a passo, em um sistema dado (recebido na prova)?
- Escreva a matriz ampliada
, onde é a matriz dos coeficientes e é o termo independente. - Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) até obter uma forma escalonada (ou RREF).
- Calcule
: é o número de pivôs (linhas não nulas) na parte de coeficientes após a redução. - Calcule
: é o número de pivôs na matriz ampliada. - Se
, o sistema é incompatível (sem solução). - Se
, então o sistema é compatível e a dimensão do espaço solução é . Para dimensão precisa acontecer .
Dica prática para a prova: se, após eliminação, você encontrar exatamente duas linhas efetivamente independentes nas colunas dos coeficientes (e nenhuma contradição na coluna dos termos independentes), então já pode concluir que a solução forma uma reta (dimensão
) no espaço
.
Passo 4
Vou mostrar um exemplo concreto (bem mastigado) que ilustra o caso em que a dimensão é
Este sistema tem duas equações e três incógnitas. Montamos a matriz ampliada:
Agora reduzo por linhas (vou descrever as operações):
- Subtraio a linha 1 da linha 2:
:
, ficando
- Elimino a entrada
na posição (1,2): , ficando
Observações do resultado:
- A parte dos coeficientes tem dois pivôs (colunas 1 e 2), logo
. - Não apareceu linha contraditória do tipo
com , então também — o sistema é compatível. - Assim a dimensão das soluções é
.
Para escrever a solução paramétrica: deixe
. Das linhas reduzidas:
Logo
que é uma reta passando pela origem — ou seja, um espaço de dimensão (1].]
Passo 5
Resumo prático e checklist rápido que você pode fazer na prova sem perder tempo:
- Monte
e . - Faça eliminação de Gauss só até identificar quantos pivôs há nas colunas de
e se surge alguma linha contraditória. - Se aparecer contradição: sem solução.
- Se não houver contradição e o número de pivôs em
for : a solução tem dimensão . - Se o número de pivôs for
: solução única (dimensão ). - Se o número de pivôs for
(raro com 3 variáveis, mas possível se houver muitas equações dependentes): dimensão .
Passo 6
Aplicação ao enunciado que você mandou: como os sistemas referidos no “abaixo” não foram incluídos na sua mensagem, não há como testar qual deles satisfaz
nem afirmar qual tem conjunto‑solução de dimensão
. Por isso não é possível dar uma resposta definitiva para a pergunta com os dados que tenho aqui.
Resposta
Não é possível determinar: os sistemas lineares mencionados no enunciado não foram fornecidos.