Q7:
Em qual dos sistemas lineares abaixo (nas variáveis x, y e z ) o conjunto-solução tem dimensão 1 ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Em qual dos sistemas lineares abaixo (nas variáveis x, y e z) o conjunto‑solução tem dimensão 1?”
Informações dadas no enunciado recebido por mim: nenhum dos sistemas foi incluído — ou seja, não há as equações dos sistemas abaixo. Portanto não há sistemas concretos para eu testar.

Passo 2

O que significa "conjunto‑solução ter dimensão 1"? Vou explicar passo a passo, de um jeito bem prático, para você aplicar na hora da prova.
  • Primeiro conceito: dado um sistema linear nas variáveis \,x,y,z, escrevemos a matriz dos coeficientes A (tem 3 colunas, uma por variável).
  • Segundo conceito: a dimensão do espaço dos vetores solução (quando o sistema é compatível) é o número de variáveis livres. Para um sistema com 3 incógnitas vale a fórmula
\dim(\text{soluções}) = 3 - \operatorname{rank}(A).çõ
Aqui \operatorname{rank}(A) é o posto (rank) da matriz dos coeficientes — o número de linhas/colunas linearmente independentes da matriz A.
  • Ter dimensão 1 significa que há exatamente uma grandeza livre na solução. Usando a fórmula acima isso equivale a
3 - \operatorname{rank}(A) = 1 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rank}(A)=2.
Logo: para que o conjunto‑solução tenha dimensão 1 é necessário que a matriz dos coeficientes tenha posto 2 e que o sistema seja compatível (ou seja, as equações não entrem em contradição).

Passo 3

Como testar isso, passo a passo, em um sistema dado (recebido na prova)?
  1. Escreva a matriz ampliada [A\mid b], onde A é a matriz m\times3 dos coeficientes e b é o termo independente.
  2. Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) até obter uma forma escalonada (ou RREF).
  3. Calcule \operatorname{rank}(A): é o número de pivôs (linhas não nulas) na parte de coeficientes após a redução.
  4. Calcule \operatorname{rank}([A\mid b]): é o número de pivôs na matriz ampliada.
  5. Se \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A\mid b]), o sistema é incompatível (sem solução).
  6. Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=r, então o sistema é compatível e a dimensão do espaço solução é 3-r. Para dimensão 1 precisa acontecer r=2.
Dica prática para a prova: se, após eliminação, você encontrar exatamente duas linhas efetivamente independentes nas colunas dos coeficientes (e nenhuma contradição na coluna dos termos independentes), então já pode concluir que a solução forma uma reta (dimensão 1) no espaço \mathbb{R}^3.

Passo 4

Vou mostrar um exemplo concreto (bem mastigado) que ilustra o caso em que a dimensão é 1\). Considere o sistema (apenas como exemplo para treinar o procedimento): \[\begin{cases} x + y + z = 0,\\[4pt] x - y = 0. \end{cases}
Este sistema tem duas equações e três incógnitas. Montamos a matriz ampliada:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right).
Agora reduzo por linhas (vou descrever as operações):
  • Subtraio a linha 1 da linha 2: \text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - \text{L}_1\], obtendo \[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -1 & 0 \end{array}\right).\] - Escalo a linha 2 por \[-\tfrac{1}{2}: \text{L}_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}\text{L}_2, ficando
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 0 \end{array}\right).
  • Elimino a entrada 1 na posição (1,2): \text{L}_1 \leftarrow \text{L}_1 - \text{L}_2, ficando
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 0 \end{array}\right).
Observações do resultado:
  • A parte dos coeficientes tem dois pivôs (colunas 1 e 2), logo \operatorname{rank}(A)=2.
  • Não apareceu linha contraditória do tipo (0\\\ 0\\\ 0\mid c) com c\neq0, então \operatorname{rank}([A\mid b])=2 também — o sistema é compatível.
  • Assim a dimensão das soluções é 3-2=1.
Para escrever a solução paramétrica: deixe z=t. Das linhas reduzidas:
\begin{cases} x + \tfrac{1}{2}z = 0 \;\Rightarrow\; x = -\tfrac{1}{2}t,\\[4pt] y + \tfrac{1}{2}z = 0 \;\Rightarrow\; y = -\tfrac{1}{2}t. \end{cases}
Logo
(x,y,z)=t\bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},1\bigr),
que é uma reta passando pela origem — ou seja, um espaço de dimensão (1].]

Passo 5

Resumo prático e checklist rápido que você pode fazer na prova sem perder tempo:
  • Monte A e [A\mid b].
  • Faça eliminação de Gauss só até identificar quantos pivôs há nas colunas de A e se surge alguma linha contraditória.
  • Se aparecer contradição: sem solução.
  • Se não houver contradição e o número de pivôs em A for 2: a solução tem dimensão 1.
  • Se o número de pivôs for 3: solução única (dimensão 0).
  • Se o número de pivôs for 1 (raro com 3 variáveis, mas possível se houver muitas equações dependentes): dimensão 2.

Passo 6

Aplicação ao enunciado que você mandou: como os sistemas referidos no “abaixo” não foram incluídos na sua mensagem, não há como testar qual deles satisfaz \operatorname{rank}(A)=2 nem afirmar qual tem conjunto‑solução de dimensão 1. Por isso não é possível dar uma resposta definitiva para a pergunta com os dados que tenho aqui.

Resposta

Não é possível determinar: os sistemas lineares mencionados no enunciado não foram fornecidos.

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