Determine o cofator do elemento a_{23} da matriz A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede: determinar o cofator do elemento a_{23} da matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\[4pt] 1 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • A é a matriz 3\times3 acima.
  • O elemento em questão é a_{23}, ou seja, linha 2 e coluna 3.]

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar (explicadinha, passo a passo):
  • O cofator associado a a_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a matriz obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j.
  • A parte (-1)^{i+j} é só um sinal que depende da posição: se i+j for par o sinal é +1, se for ímpar o sinal é -1.
  • Para calcular \det(M_{ij}) aqui será um determinante de uma matriz 2\times2, e a fórmula para uma matriz
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
é
\det = ad - bc.
Isso é tudo que precisamos.

Passo 3

Construir o menor M_{23} (ou seja, eliminar a linha 2 e a coluna 3 da matriz A).
  • Eliminando a linha 2 e a coluna 3 da matriz dada, sobra a matriz 2\times2:
M_{23}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
(Esse 2 e esse 1 e esse 0 e esse 1 vieram diretamente da matriz A fornecida.)]

Passo 4

Calcular o determinante de M_{23} usando a fórmula para 2\times2:
\det(M_{23}) = 2\cdot 1 - 1\cdot 0 = 2 - 0 = 2.

Passo 5

Calcular o sinal (-1)^{i+j} para i=2 e j=3:
(-1)^{2+3}=(-1)^5=-1.
Agora aplicar a definição do cofator:
C_{23}=(-1)^{2+3}\det(M_{23}) = -1\cdot 2 = -2.

Resposta

-2

Exercícios relacionados