A é uma matriz quadrada de ordem 4 e \operatorname{det}(A)=-6. Calcule o valor de x tal que \operatorname{det}(2 A)=x-97.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
A é uma matriz quadrada de ordem 4.
\det(A) = -6.
O enunciado pede: calcular o valor de x tal que \det(2A)=x-97.
Passo 2
Entender a relação entre \det(2A) e \det(A). Vou explicar um resultado fundamental e muito útil sobre determinantes, mostrando por que ele vale (aula curta e passo a passo).
Propriedade (que vamos usar): se A é uma matriz quadrada de ordem n e c é um escalar, então
\det(cA)=c^{n}\det(A).
Por que isso é verdade? Pense nas linhas (ou colunas) de A. Se A tem linhas \ell_1,\ell_2,\dots,\ell_n, então cA tem linhas c\ell_1,c\ell_2,\dots,c\ell_n. O determinante é uma função multilinear nas linhas: multiplicar uma linha por c faz com que o determinante seja multiplicado por c. Aplicando isso para cada uma das n linhas, o fator c aparece n vezes, resultando em um fator total c^n. Por isso \det(cA)=c^{n}\det(A).