A é uma matriz quadrada de ordem 4 e \operatorname{det}(A)=-6. Calcule o valor de x tal que \operatorname{det}(2 A)=x-97.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A é uma matriz quadrada de ordem 4.
  • \det(A) = -6.
    O enunciado pede: calcular o valor de x tal que \det(2A)=x-97.

Passo 2

Entender a relação entre \det(2A) e \det(A). Vou explicar um resultado fundamental e muito útil sobre determinantes, mostrando por que ele vale (aula curta e passo a passo).
Propriedade (que vamos usar): se A é uma matriz quadrada de ordem n e c é um escalar, então
\det(cA)=c^{n}\det(A).
Por que isso é verdade? Pense nas linhas (ou colunas) de A. Se A tem linhas \ell_1,\ell_2,\dots,\ell_n, então cA tem linhas c\ell_1,c\ell_2,\dots,c\ell_n. O determinante é uma função multilinear nas linhas: multiplicar uma linha por c faz com que o determinante seja multiplicado por c. Aplicando isso para cada uma das n linhas, o fator c aparece n vezes, resultando em um fator total c^n. Por isso \det(cA)=c^{n}\det(A).
Exemplo rápido para fixar (caso n=2): se
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
então \det(A)=ad-bc. Para 2A,
2A=\begin{pmatrix}2a & 2b\\\\ 2c & 2d\end{pmatrix},
e \det(2A)=(2a)(2d)-(2b)(2c)=4(ad-bc)=2^2\det(A), que confirma a regra com n=2.

Passo 3

Aplicar a propriedade ao nosso caso. Aqui n=4 e c=2. Logo
\det(2A)=2^{4}\det(A).

Passo 4

Substituir \det(A)=-6:
\det(2A)=2^{4}\cdot(-6)=16\cdot(-6)=-96.

Passo 5

Usar a equação fornecida pelo enunciado \det(2A)=x-97. Temos -96=x-97. Agora resolvemos para x:
x = -96 + 97 = 1.

Resposta

1

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