Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
II. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
III. Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um conjunto \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{5}.
  • Dois sistemas lineares representados por matrizes aumentadas:
    • S_{1}:\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0}\end{array}\right].
    • S_{2}:\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3}\end{array}\right].
O enunciado pede avaliar a veracidade das afirmativas:
I. Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
II. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
III. Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
Lista das informações relevantes:
  • Os vetores estão em \mathbb{R}^{5} (mas são apenas 3 vetores).
  • S_{1} é o sistema homogêneo \;x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
  • S_{2} é o sistema \;c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}.
  • As afirmações usam termos LD (linearmente dependentes) e LI (linearmente independentes) e falam em existência/uniquidade/infinitas soluções.

Passo 2

Definições e interpretações fundamentais (explicando como pensar sobre esses sistemas na prova):
  • Conjunto linearmente independente (LI): \beta é LI quando a única solução do homogêneo a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+a_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}é a_{1}=a_{2}=a_{3}=0. Ou seja, nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros.
  • Conjunto linearmente dependente (LD): \beta é LD quando existem a_{1},a_{2},a_{3}, não todos nulos, tais que a combinação acima dá \overrightarrow{0}. Isso significa que pelo menos um vetor é combinação linear dos outros.
  • Sobre soluções de sistemas lineares:
    • Um sistema homogêneo sempre tem a solução trivial. Se além da trivial existem soluções não-triviais, então existe um espaço de soluções de dimensão \ge 1 — logo infinitas soluções.
    • Para um sistema não-homogêneo do tipo A\vec{x}=\vec{b}, a solução é única se e somente se as colunas de A forem linearmente independentes (ou equivalentemente \operatorname{rank}(A)= nº de incógnitas). Se \vec{b} não pertence à imagem de A, não há solução; se \vec{b} pertence à imagem mas colunas são dependentes, há infinitas soluções.

Passo 3

Interpretação direta de S_{1} e vínculo com LD/LI:
  • S_{1} é o homogêneo com as três colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}. Então:
    • Se \beta é LI, o único vetor solução é o trivial, logo S_{1} tem solução única (apenas a trivial).
    • Se \beta é LD, existe solução não-trivial, e como o espaço solução é um subespaço não-nulo, isso significa infinitas soluções.
  • Conclusão prática (útil para a prova): LI para as colunas \Leftrightarrow homogêneo tem única solução; LD \Rightarrow homogêneo tem infinitas soluções.

Passo 4

Interpretando S_{2}:
  • S_{2} é a equação c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}.
  • Isso é um sistema com duas incógnitas c_{1},c_{2} e vetor-resultado \vec{v}_{3}.
  • Possibilidades:
    • Se \vec{v}_{3} NÃO está no subespaço gerado por \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, então S_{2} não tem solução.
    • Se \vec{v}_{3} está nesse subespaço e \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI, então a representação é única (uma combinação linear de dois vetores independentes tem representação única).
    • Se \vec{v}_{3} está no subespaço mas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LD (ou seja, um é múltiplo do outro), então há infinitas representações (ou nenhuma), dependendo do caso; se ambos colineares e \vec{v}_{3} estiver na mesma reta, há infinitas soluções para (c_1,c_2).

Passo 5

Analisando a afirmativa I: “Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.”
  • Interpretação de “pode”: existe pelo menos um exemplo em que \beta é LD e S_{2} tem solução única.
  • Construção do exemplo (bem simples, em \mathbb{R}^{5} podemos usar vetores com muitos zeros):
    • Tome \vec{v}_{1}=(1,0,0,0,0), \vec{v}_{2}=(0,1,0,0,0), \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}=(1,1,0,0,0).
    • Aqui \beta é LD porque \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}.
    • Para S_{2} resolvendo c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} obtemos imediatamente c_{1}=1, c_{2}=1. As colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI (são coordenadas canônicas distintas), então a solução é única.
  • Portanto existe um caso em que \beta é LD e S_{2} tem solução única, logo a afirmação I é verdadeira (no sentido de “pode”).

Passo 6

Analisando a afirmativa II: “Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.”
  • Se \beta é LI, então em particular as duas colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} formam um subconjunto de um conjunto independente; assim \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são LI.
  • Para que S_{2} tenha solução, \vec{v}_{3} deve pertencer ao span \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
  • Mas se \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LI, por definição \vec{v}_{3} NÃO é combinação linear de \vec{v}_{1},\vec{v}_{2}. Logo \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
  • Portanto, sob a hipótese \beta LI, S_{2} não tem solução (impossível ter solução única), ou seja, afirmar que terá solução única é falso.
  • Conclusão: II é falsa.

Passo 7

Analisando a afirmativa III: “Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.”
  • Lembrete: S_{1} é o homogêneo x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
  • Se \beta é LI, então a única solução do homogêneo é a trivial x_{1}=x_{2}=x_{3}=0. Não há soluções não-triviais.
  • Logo S_{1} tem exatamente uma solução (a trivial), não infinitas.
  • Assim a afirmativa III é falsa.

Passo 8

Resumo das verdades:
  • I é verdadeira (existe exemplo em que \beta é LD e S_{2} tem solução única).
  • II é falsa (se \beta é LI então \vec{v}_{3} não está no span \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, logo S_{2} não tem solução).
  • III é falsa (se \beta é LI o homogêneo S_{1} só tem a solução trivial).

Resposta

(G) Só I é verdadeira.

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