Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LD, então
pode ter solução única.
II. Se
é LI, então
tem solução única.
III. Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado dá:
- Um conjunto
. - Dois sistemas lineares representados por matrizes aumentadas:
-
. -
.
-
O enunciado pede avaliar a veracidade das afirmativas:
I. Se é LD, então
pode ter solução única.
II. Se é LI, então
tem solução única.
III. Se é LI, então
pode ter infinitas soluções.
I. Se
II. Se
III. Se
Lista das informações relevantes:
- Os vetores estão em
(mas são apenas 3 vetores). -
é o sistema homogêneo -
é o sistema - As afirmações usam termos LD (linearmente dependentes) e LI (linearmente independentes) e falam em existência/uniquidade/infinitas soluções.
Passo 2
Definições e interpretações fundamentais (explicando como pensar sobre esses sistemas na prova):
- Conjunto linearmente independente (LI):
é LI quando a única solução do homogêneo é . Ou seja, nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros. - Conjunto linearmente dependente (LD):
é LD quando existem , não todos nulos, tais que a combinação acima dá . Isso significa que pelo menos um vetor é combinação linear dos outros. - Sobre soluções de sistemas lineares:
- Um sistema homogêneo sempre tem a solução trivial. Se além da trivial existem soluções não-triviais, então existe um espaço de soluções de dimensão
— logo infinitas soluções. - Para um sistema não-homogêneo do tipo
, a solução é única se e somente se as colunas de forem linearmente independentes (ou equivalentemente nº de incógnitas). Se não pertence à imagem de , não há solução; se pertence à imagem mas colunas são dependentes, há infinitas soluções.
- Um sistema homogêneo sempre tem a solução trivial. Se além da trivial existem soluções não-triviais, então existe um espaço de soluções de dimensão
Passo 3
Interpretação direta de
e vínculo com LD/LI:
-
é o homogêneo com as três colunas . Então: - Se
é LI, o único vetor solução é o trivial, logo tem solução única (apenas a trivial). - Se
é LD, existe solução não-trivial, e como o espaço solução é um subespaço não-nulo, isso significa infinitas soluções.
- Se
- Conclusão prática (útil para a prova): LI para as colunas
homogêneo tem única solução; LD homogêneo tem infinitas soluções.
Passo 4
Interpretando
:
-
é a equação . - Isso é um sistema com duas incógnitas
e vetor-resultado . - Possibilidades:
- Se
NÃO está no subespaço gerado por , então não tem solução. - Se
está nesse subespaço e são LI, então a representação é única (uma combinação linear de dois vetores independentes tem representação única). - Se
está no subespaço mas são LD (ou seja, um é múltiplo do outro), então há infinitas representações (ou nenhuma), dependendo do caso; se ambos colineares e estiver na mesma reta, há infinitas soluções para .
- Se
Passo 5
Analisando a afirmativa I: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
- Interpretação de “pode”: existe pelo menos um exemplo em que
é LD e tem solução única. - Construção do exemplo (bem simples, em
podemos usar vetores com muitos zeros): - Tome
, , . - Aqui
é LD porque . - Para
resolvendo obtemos imediatamente , . As colunas são LI (são coordenadas canônicas distintas), então a solução é única.
- Tome
- Portanto existe um caso em que
é LD e tem solução única, logo a afirmação I é verdadeira (no sentido de “pode”).
Passo 6
Analisando a afirmativa II: “Se
é LI, então
tem solução única.”
- Se
é LI, então em particular as duas colunas formam um subconjunto de um conjunto independente; assim e são LI. - Para que
tenha solução, deve pertencer ao span . - Mas se
é LI, por definição NÃO é combinação linear de . Logo . - Portanto, sob a hipótese
LI, não tem solução (impossível ter solução única), ou seja, afirmar que terá solução única é falso. - Conclusão: II é falsa.
Passo 7
Analisando a afirmativa III: “Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.”
- Lembrete:
é o homogêneo . - Se
é LI, então a única solução do homogêneo é a trivial . Não há soluções não-triviais. - Logo
tem exatamente uma solução (a trivial), não infinitas. - Assim a afirmativa III é falsa.
Passo 8
Resumo das verdades:
- I é verdadeira (existe exemplo em que
é LD e tem solução única). - II é falsa (se
é LI então não está no span , logo não tem solução). - III é falsa (se
é LI o homogêneo só tem a solução trivial).
Resposta
(G) Só I é verdadeira.