Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} .
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-2,-3),(2,-4) e (-5,-2).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 41.5
(B) 42.5
(C) 43.5
(D) 44.5
(E) 45.5
(F) 46.5
(G) 47.5
(H) 48.5

Passo 1

O enunciado pede para determinar o centro e o raio do círculo que passa pelos três pontos dados e, a partir disso, escolher a opção cujo valor do raio seja o mais próximo do raio encontrado. Os dados fornecidos são os três pontos:
  • (-2,-3)
  • (2,-4)
  • (-5,-2)
Também nos deram a forma “aberta” da equação do círculo:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
com as relações entre a,b,c e o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r:
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
O que precisamos fazer, passo a passo:
  • Encontrar a,b,c de modo que os três pontos satisfaçam a equação acima;
  • Usar a e b para obter x_{0},y_{0};
  • Usar c,x_{0},y_{0} para obter r;
  • Comparar o r com as opções e escolher a mais próxima.

Passo 2

Vamos montar as três equações obtidas ao substituir cada ponto na equação \;x^{2}+a x+y^{2}+b y=c\;.
Para (-2,-3):
(-2)^{2}+a(-2)+(-3)^{2}+b(-3)=c
ou seja
13-2a-3b=c.
Para (2,-4):
2^{2}+a(2)+(-4)^{2}+b(-4)=c
ou seja
20+2a-4b=c.
Para (-5,-2):
(-5)^{2}+a(-5)+(-2)^{2}+b(-2)=c
ou seja
29-5a-2b=c.
Portanto o sistema (em forma igualitária a c) é:
\begin{cases} 13-2a-3b=c,\\[4pt] 20+2a-4b=c,\\[4pt] 29-5a-2b=c. \end{cases}]

Passo 3

Eliminamos c igualando as expressões duas a duas; isso nos dá duas equações lineares em a e b.
Subtraindo a primeira da segunda:
(20+2a-4b)-(13-2a-3b)=0
Calcule termo a termo:
20-13 +2a-(-2a) -4b-(-3b)=0
7 +4a -b =0
Logo:
4a - b = -7.
Subtraindo a primeira da terceira:
(29-5a-2b)-(13-2a-3b)=0
29-13 -5a-(-2a) -2b-(-3b)=0
16 -3a + b =0
Logo:
-3a + b = -16.
Assim obtemos o sistema 2×2:
\begin{cases} 4a - b = -7,\\[4pt] -3a + b = -16. \end{cases}]

Passo 4

Somamos as duas equações para eliminar b:
(4a-b)+(-3a+b)= -7 + (-16).
No lado esquerdo 4a-b-3a+b = a. No direito -23. Portanto
a = -23.
Substituindo a=-23 em 4a-b=-7:
4(-23) - b = -7
-92 - b = -7
- b = 85 \quad\Rightarrow\quad b = -85.

Passo 5

Agora encontramos c substituindo a e b em qualquer das equações iniciais. Usando a primeira ( 13-2a-3b=c):
c = 13 -2(-23) -3(-85).
Calcule:
-2(-23)=46,\qquad -3(-85)=255.
c = 13 +46 +255 = 314.
Verificação rápida (opcional): substituir em qualquer outra das duas dá o mesmo c=314.

Passo 6

Agora obtemos o centro (x_{0},y_{0}) a partir de a=-2x_{0} e b=-2y_{0}.
Para x_{0}:
a = -2x_{0}\\ \Rightarrow\\ x_{0} = -\dfrac{a}{2} = -\dfrac{-23}{2} = \dfrac{23}{2} = 11,5.
Para y_{0}:
b = -2y_{0}\\ \Rightarrow\\ y_{0} = -\dfrac{b}{2} = -\dfrac{-85}{2} = \dfrac{85}{2} = 42,5.
Logo o centro é \left(11,5,\;42,5\right).

Passo 7

Agora o raio: a relação dada é c = r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}. Isolando r^{2}:
r^{2} = c + x_{0}^{2} + y_{0}^{2}.
Calculemos cada termo. Em frações é mais exato:
x_{0}=\dfrac{23}{2}\Rightarrow x_{0}^{2}=\dfrac{529}{4}, \qquad y_{0}=\dfrac{85}{2}\Rightarrow y_{0}^{2}=\dfrac{7225}{4}.
Somando:
x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=\dfrac{529+7225}{4}=\dfrac{7754}{4}=\dfrac{3877}{2}=1938,5.
Então
r^{2}=c + x_{0}^{2}+y_{0}^{2} = 314 + 1938,5 = 2252,5.
Portanto
r = \sqrt{2252,5}.
Vamos aproximar \sqrt{2252,5}. Observando:
47,5^{2}=2256,25,\qquad 47,46^{2}\approx2252,45.
Logo \sqrt{2252,5}\approx 47,46, muito próximo de 47,5.

Resposta

(G) 47,5

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