Verifique se os seguintes subconjuntos de
são subespaços. Nos casos em que o subconjunto não é subespaço, quais propriedades não se verificam?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto
é um subespaço de
. Informações dadas:
- O conjunto é formado por todos os vetores
que satisfazem a equação linear . - A pergunta é: “é subespaço?” Se não for, devo dizer quais propriedades de subespaço falham.
Passo 2
Definição operacional de subespaço (vou explicar bem devagar):
Um subconjunto é subespaço vetorial se e somente se as três propriedades seguintes forem verdadeiras:
Um subconjunto
-
(contém o vetor zero). - Fechamento por adição: para quaisquer
, tem-se . - Fechamento por multiplicação escalar: para qualquer escalar
e qualquer , tem-se .
Explicando cada uma de forma bem simples:
- A condição
garante que o conjunto não está “deslocado” (um subespaço sempre contém a origem). - Fechamento por adição significa que somando dois vetores do conjunto nunca saímos dele.
- Fechamento por multiplicação escalar significa que ao multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado permanece no conjunto.
Se as três valem, já temos subespaço.
Passo 3
Verificação da primeira propriedade (
):
- O vetor zero em
é . - Substituindo na equação que define
: . - Como a igualdade fica verdadeira,
.
Conclusão do passo: a propriedade de conter o vetor zero é satisfeita.
Passo 4
Verificação do fechamento por adição:
- Seja
e . - Pelo fato de estarem em
, sabemos que - A soma é
. - Verificamos a equação definidora para a soma:
Como e , a soma vale . - Logo
.
Explicação didática: usei distributividade e associatividade da soma para separar os termos; isso mostra que a condição linear
é preservada por adição.
Passo 5
Verificação do fechamento por multiplicação escalar:
- Seja
e , com . - O vetor escalado é
. - Verificamos a equação definidora:
Como , o produto é . - Logo
.
Explicação didática: utilizei a propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre a soma para fatorar
e ver que a condição homogênea se mantém.
Passo 6
Conclusão imediata a partir dos passos anteriores:
-
contém o vetor zero, é fechado por adição e fechado por multiplicação escalar. - Portanto
é um subespaço de .
Complemento (útil para prova e para entender a forma de
):
- Podemos parametrizar
. A equação é equivalente a . Deixe e como parâmetros reais. Então - Isso mostra que
é gerado pelos vetores e , que são linearmente independentes. Logo uma base de é e .
Resposta
Sim.
é um subespaço de
.\nUma base possível é
e
.