Verifique se os seguintes subconjuntos de mathbb{R}^{3} são subespaços. Nos casos em que o subconjunto não é subespaço, quais propriedades não se verificam?
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-3 z=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-3z=0\right\}
é um subespaço de \mathbb{R}^3. Informações dadas:
  • O conjunto é formado por todos os vetores (x,y,z) que satisfazem a equação linear \;x-3z=0.
  • A pergunta é: “é subespaço?” Se não for, devo dizer quais propriedades de subespaço falham.

Passo 2

Definição operacional de subespaço (vou explicar bem devagar):
Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se e somente se as três propriedades seguintes forem verdadeiras:
  1. \mathbf{0}\in W (contém o vetor zero).
  2. Fechamento por adição: para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, tem-se \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e qualquer \mathbf{u}\in W, tem-se c\mathbf{u}\in W.
Explicando cada uma de forma bem simples:
  • A condição \mathbf{0}\in W garante que o conjunto não está “deslocado” (um subespaço sempre contém a origem).
  • Fechamento por adição significa que somando dois vetores do conjunto nunca saímos dele.
  • Fechamento por multiplicação escalar significa que ao multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado permanece no conjunto.
    Se as três valem, já temos subespaço.

Passo 3

Verificação da primeira propriedade ( \mathbf{0}\in W):
  • O vetor zero em \mathbb{R}^3 é \mathbf{0}=(0,0,0).
  • Substituindo na equação que define W: x-3z = 0 - 3\cdot 0 = 0.
  • Como a igualdade fica verdadeira, \mathbf{0}\in W.
Conclusão do passo: a propriedade de conter o vetor zero é satisfeita.

Passo 4

Verificação do fechamento por adição:
  • Seja \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)\in W.
  • Pelo fato de estarem em W, sabemos que x_1-3z_1=0\qquad\text{e}\qquad x_2-3z_2=0.
  • A soma é \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
  • Verificamos a equação definidora para a soma: (x_1+x_2)-3(z_1+z_2) = (x_1-3z_1) + (x_2-3z_2).Como x_1-3z_1=0 e x_2-3z_2=0, a soma vale 0+0=0.
  • Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
Explicação didática: usei distributividade e associatividade da soma para separar os termos; isso mostra que a condição linear x-3z=0 é preservada por adição.

Passo 5

Verificação do fechamento por multiplicação escalar:
  • Seja c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W, com x_1-3z_1=0.
  • O vetor escalado é c\mathbf{u}=(c x_1,\;c y_1,\;c z_1).
  • Verificamos a equação definidora: (c x_1) - 3(c z_1) = c\,(x_1 - 3 z_1).Como x_1-3z_1=0, o produto é c\cdot 0 = 0.
  • Logo c\mathbf{u}\in W.
Explicação didática: utilizei a propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre a soma para fatorar c e ver que a condição homogênea se mantém.

Passo 6

Conclusão imediata a partir dos passos anteriores:
  • W contém o vetor zero, é fechado por adição e fechado por multiplicação escalar.
  • Portanto W é um subespaço de \mathbb{R}^3.
Complemento (útil para prova e para entender a forma de W):
  • Podemos parametrizar W. A equação \;x-3z=0 é equivalente a \;x=3z. Deixe y=s e z=t como parâmetros reais. Então (x,y,z)=(3t,\;s,\;t)=s\,(0,1,0)+t\,(3,0,1).
  • Isso mostra que W é gerado pelos vetores (0,1,0) e (3,0,1), que são linearmente independentes. Logo uma base de W é \{(0,1,0),\;(3,0,1)\}e \dim W = 2.

Resposta

Sim. W é um subespaço de \mathbb{R}^3.\nUma base possível é \{(0,1,0),\,(3,0,1)\} e \dim W=2.

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