Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{7} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right]
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
II. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
III. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
(A) Só II é verdadeira.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{7}.
  • Sistemas (matrizes aumentadas):
    • S_{1}:\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0}\end{array}\right]. (Sistema homogêneo x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.)
    • S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3}\end{array}\right]. (Sistema x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}.)
  • Pergunta: analisar a veracidade de cada afirmativa:
    I. Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
    II. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
    III. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
Vou verificar cada afirmativa cuidadosamente, explicando os conceitos usados.

Passo 2

Primeiro, conceitos essenciais (explicadinho passo a passo).
  • Definição de linearmente dependente (LD): o conjunto \beta é LD se existem escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}, nem todos zero, tais que
    \alpha_{1}\vec{v}_{1}+\alpha_{2}\vec{v}_{2}+\alpha_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
    Se a única solução desse tipo é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0, então \beta é linearmente independente (LI).
  • Sistemas homogêneos e unicidade: o sistema homogêneo
    x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}
    (que é exatamente S_{1}) tem sempre a solução trivial x_{1}=x_{2}=x_{3}=0. Há solução única (apenas a trivial) se, e somente se, as colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} forem LI. Se as colunas forem LD, então existe solução não-trivial e, porque o conjunto de soluções de um sistema homogêneo linear é um subespaço que contém mais do que o vetor zero, haverá infinitas soluções (não apenas uma).
  • Sistemas não-homogêneos A\vec{x}=\vec{b}: para que exista pelo menos uma solução, \vec{b} precisa pertencer ao espaço gerado pelas colunas de A (isto é, \vec{b}\in\operatorname{span}\{\text{colunas de }A\}). Se as colunas de A forem LI e \vec{b} estiver no span, então a solução é única. Se as colunas forem LD e \vec{b} estiver no span, então existem infinitas soluções (graças ao núcleo não-trivial). Se \vec{b} não estiver no span, não existe solução.
Com essas ideias na mão, vamos analisar cada afirmativa.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.”
  • Observação: S_{1} é o sistema homogêneo x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
  • Já vimos que um sistema homogêneo tem solução única (apenas a trivial) exatamente quando as colunas são LI.
  • Se \beta é LD, então as colunas não são LI, logo existe solução não-trivial. Portanto S_{1} não pode ter solução única; terá infinitas soluções.
  • Conclusão: a afirmativa I é falsa.
Exemplo concreto e simples (para fixar): tome \vec{v}_{1}=(1,0,0,0,0,0,0), \vec{v}_{2}=(0,1,0,0,0,0,0), \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}. Aqui \beta é LD (porque \vec{v}_{3}-\vec{v}_{1}=\overrightarrow{0} combina não-trivial). O sistema homogêneo tem, por exemplo, solução x_{1}=1,x_{2}=0,x_{3}=-1 não-trivial, e assim infinitas soluções.

Passo 4

Análise da afirmativa II: “Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.”
  • S_{2} é o sistema x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}.
  • Se \beta é LI, isto é, \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são linearmente independentes, então particular atenção: isso implica que \vec{v}_{3} NÃO pode ser combinação linear de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. Porque se existissem a,b tais que a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}, então \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} seriam LD.
  • Logo, quando \beta é LI, \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Isso significa que o sistema x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} não tem solução nenhuma (inconsistente).
  • Portanto não pode ser que ele tenha solução única; na verdade não tem solução.
  • Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Exemplo simples: tome \vec{v}_{1}=e_{1},\vec{v}_{2}=e_{2},\vec{v}_{3}=e_{3}. Esses três são LI. O sistema x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}=e_{3} não tem solução.

Passo 5

Análise da afirmativa III: “Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.”
  • Queremos saber se para todo caso em que \beta é LD o sistema x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} necessariamente tem infinitas soluções.
  • Mas existem subcasos quando \beta é LD:
    • Caso A: a dependência entre \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} envolva \vec{v}_{3} com coeficiente não nulo, isto é, existe relação com c\neq 0 tal que a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}+c\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}. Então \vec{v}_{3} é combinação linear de \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} e assim \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Nesse subcaso o sistema S_{2} tem pelo menos uma solução. Agora:
      • Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} forem LI, então essa solução é única.
      • Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} forem LD, então haverá infinitas soluções.
    • Caso B: a dependência não envolve \vec{v}_{3} (coeficiente de \vec{v}_{3} é zero), então \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} já são LD. Nesse subcaso, \vec{v}_{3} pode ou não estar no span de \vec{v}_{1},\vec{v}_{2}. Se não estiver, S_{2} não tem solução; se estiver, como as colunas de A são LD, S_{2} terá infinitas soluções.
  • Observação crucial: existe ao menos um exemplo em que \beta é LD e S_{2} tem solução única — basta escolher \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} LI e \vec{v}_{3} como combinação linear deles. Por exemplo, tome \vec{v}_{1}=e_{1}, \vec{v}_{2}=e_{2}, \vec{v}_{3}=e_{1}+e_{2}. Então \beta é LD, e o sistema x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}=e_{1}+e_{2} tem exatamente a solução x_{1}=1,x_{2}=1 (única).
  • Portanto a afirmativa “então S_{2} tem infinitas solução” não é verdadeira em geral — existe contraexemplo. Logo III é falsa.

Passo 6

Conclusão final juntando as análises:
  • I é falsa.
  • II é falsa.
  • III é falsa.
Portanto a opção correta é a que diz que todas as afirmativas são falsas.
Força aí — você já domina a lógica: entender span, dependência e o que significa solução única em homogêneo vs não-homogêneo é exatamente o que cai direto nas provas.

Resposta

(F) Todas são falsas.

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