Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LD, então
pode ter solução única.
II. Se
é LI, então
tem solução única.
III. Se
é LD, então
tem infinitas solução.
(A) Só II é verdadeira.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só II é verdadeira.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
. -
Sistemas (matrizes aumentadas):
-
. (Sistema homogêneo .) -
. (Sistema .)
-
-
Pergunta: analisar a veracidade de cada afirmativa:
I. Seé LD, então pode ter solução única.
II. Seé LI, então tem solução única.
III. Seé LD, então tem infinitas solução.
Vou verificar cada afirmativa cuidadosamente, explicando os conceitos usados.
Passo 2
Primeiro, conceitos essenciais (explicadinho passo a passo).
-
Definição de linearmente dependente (LD): o conjunto
é LD se existem escalares , nem todos zero, tais que Se a única solução desse tipo é, então é linearmente independente (LI). -
Sistemas homogêneos e unicidade: o sistema homogêneo(que é exatamente
) tem sempre a solução trivial . Há solução única (apenas a trivial) se, e somente se, as colunas forem LI. Se as colunas forem LD, então existe solução não-trivial e, porque o conjunto de soluções de um sistema homogêneo linear é um subespaço que contém mais do que o vetor zero, haverá infinitas soluções (não apenas uma). -
Sistemas não-homogêneos
: para que exista pelo menos uma solução, precisa pertencer ao espaço gerado pelas colunas de (isto é, ). Se as colunas de forem LI e estiver no span, então a solução é única. Se as colunas forem LD e estiver no span, então existem infinitas soluções (graças ao núcleo não-trivial). Se não estiver no span, não existe solução.
Com essas ideias na mão, vamos analisar cada afirmativa.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
- Observação:
é o sistema homogêneo . - Já vimos que um sistema homogêneo tem solução única (apenas a trivial) exatamente quando as colunas são LI.
- Se
é LD, então as colunas não são LI, logo existe solução não-trivial. Portanto não pode ter solução única; terá infinitas soluções. - Conclusão: a afirmativa I é falsa.
Exemplo concreto e simples (para fixar): tome
,
,
. Aqui
é LD (porque
combina não-trivial). O sistema homogêneo tem, por exemplo, solução
não-trivial, e assim infinitas soluções.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “Se
é LI, então
tem solução única.”
-
é o sistema . - Se
é LI, isto é, são linearmente independentes, então particular atenção: isso implica que NÃO pode ser combinação linear de e . Porque se existissem tais que , então seriam LD. - Logo, quando
é LI, . Isso significa que o sistema não tem solução nenhuma (inconsistente). - Portanto não pode ser que ele tenha solução única; na verdade não tem solução.
- Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Exemplo simples: tome
. Esses três são LI. O sistema
não tem solução.
Passo 5
Análise da afirmativa III: “Se
é LD, então
tem infinitas solução.”
- Queremos saber se para todo caso em que
é LD o sistema necessariamente tem infinitas soluções. - Mas existem subcasos quando
é LD: - Caso A: a dependência entre
envolva com coeficiente não nulo, isto é, existe relação com tal que . Então é combinação linear de e assim . Nesse subcaso o sistema tem pelo menos uma solução. Agora: - Se
forem LI, então essa solução é única. - Se
forem LD, então haverá infinitas soluções.
- Se
- Caso B: a dependência não envolve
(coeficiente de é zero), então já são LD. Nesse subcaso, pode ou não estar no span de . Se não estiver, não tem solução; se estiver, como as colunas de são LD, terá infinitas soluções.
- Caso A: a dependência entre
- Observação crucial: existe ao menos um exemplo em que
é LD e tem solução única — basta escolher LI e como combinação linear deles. Por exemplo, tome , , . Então é LD, e o sistema tem exatamente a solução (única). - Portanto a afirmativa “então
tem infinitas solução” não é verdadeira em geral — existe contraexemplo. Logo III é falsa.
Passo 6
Conclusão final juntando as análises:
- I é falsa.
- II é falsa.
- III é falsa.
Portanto a opção correta é a que diz que todas as afirmativas são falsas.
Força aí — você já domina a lógica: entender span, dependência e o que significa solução única em homogêneo vs não-homogêneo é exatamente o que cai direto nas provas.
Resposta
(F) Todas são falsas.