No “quadrado fantástico” abaixo, sabe-se que cada um dos números nas quatro casas centrais é igual à média dos números nas quatro casas vizinhas (acima, abaixo, à esquerda e à direita). Calcule os valores de x, y, z \mathrm{e} w \mathrm{e} assinale a única alternativa correta:
2
-2
1
-9
-40
x
y
38
24
z
w
-28
4
-1
6
8
Passo 1
O enunciado dá um quadrado 4\times4 com os números (peguei estes números da tabela do enunciado):
\begin{matrix} 2 & -2 & 1 & -9\\[4pt] -40 & x & y & 38\\[4pt] 24 & z & w & -28\\[4pt] 4 & -1 & 6 & 8 \end{matrix}
O que se pede: calcular os valores de x,\;y,\;z e w, sabendo que cada um dos quatro números centrais é igual à média aritmética dos quatro números vizinhos (acima, abaixo, à esquerda e à direita).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As quatro casas centrais são \,x=(2,2),\;y=(2,3),\;z=(3,2),\;w=(3,3) no arranjo por linhas e colunas.
A regra: para cada centro c vale \;c=\dfrac{\text{soma dos 4 vizinhos}}{4}.]
Passo 2
Traduzir a regra “valor = média dos quatro vizinhos” em equações lineares. A média dos quatro vizinhos igual a c implica, multiplicando por 4, que a soma dos quatro vizinhos é 4c. Vou escrever uma equação para cada um de x,y,z,w, substituindo os vizinhos pelos números da tabela (estou usando explicitamente os números da tabela).
Para x (posição (2,2)): vizinhos são acima -2, abaixo z, esquerda -40 e direita y. Logo
4x = -2 + z -40 + y.
Para y (posição (2,3)): vizinhos são acima 1, abaixo w, esquerda x e direita 38. Logo
4y = 1 + w + x + 38.
Para z (posição (3,2)): vizinhos são acima x, abaixo -1, esquerda 24 e direita w. Logo
4z = x -1 + 24 + w.
Para w (posição (3,3)): vizinhos são acima y, abaixo 6, esquerda z e direita -28. Logo
4w = y + 6 + z -28.
Passo 3
Simplificar cada equação para uma forma linear padrão (todas as letras e constantes em TeX):
Da equação de x:
4x = -42 + y + z \quad\Rightarrow\quad 4x - y - z = -42. \tag{1}
De y:
4y = 39 + x + w \quad\Rightarrow\quad -x + 4y - w = 39. \tag{2}
De z:
4z = x + w + 23 \quad\Rightarrow\quad -x - w + 4z = 23. \tag{3}
De w:
4w = y + z -22 \quad\Rightarrow\quad -y - z + 4w = -22. \tag{4}
Temos, portanto, o sistema linear composto por (1), (2), (3) e (4).
Passo 4
Uma combinação útil: somar as quatro equações (1)+(2)+(3)+(4). Somando os dois lados:
Lado esquerdo:
(4x - y - z)+(-x + 4y - w)+(-x - w + 4z)+(-y - z + 4w).