Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos
tais que
, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto
é um subespaço vetorial. III. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só III é verdadeira.
I. O conjunto de todos
II. O conjunto
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só III é verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique se cada uma das três afirmativas é verdadeira ou falsa, e então escolha a alternativa correta. As afirmativas são:
I. O conjunto de todos
tais que
, onde
é uma matriz
, é um subespaço vetorial.
II. O conjunto
é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo
tais que
é um subespaço vetorial.
O que preciso responder: quais dessas afirmativas são verdadeiras (escolher a letra correspondente).
Passo 2
Primeiro, lembrar claramente o que significa “ser um subespaço vetorial” (vou explicar de forma direta e prática). Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se três propriedades forem satisfeitas:
-
contém o vetor zero de . -
é fechado sob soma: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e é um escalar (real), então .
Essas três condições são fáceis de testar em problemas de prova. Outra observação útil (que vou usar em III): se um conjunto é o núcleo (kernel) de uma transformação linear
, isto é
, então ele é automaticamente subespaço, porque kernels são sempre subespaços.
Passo 3
Analisando a afirmativa I.
Definição do conjunto:
. Esse é exatamente o núcleo (kernel) da transformação linear definida por
(a multiplicação por
é uma transformação linear de
em
).
Verificação direta das três propriedades:
- Vetor zero:
, logo . - Fechamento por soma: se
e , então logo . - Fechamento por escalar: se
e , então logo .
Conclusão:
satisfaz as três propriedades, portanto a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa II.
O conjunto é
, o conjunto unitário contendo apenas o vetor zero de
.
Verificação direta:
- Contém o vetor zero? Sim, por definição.
- Soma: se
e estão em , então necessariamente , e . - Escalar: se
e , então .
Esse conjunto é o subespaço trivial (chamado de
). Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmativa III.
Definir o conjunto
onde
é o espaço dos polinômios de grau no máximo
.
Dois caminhos para mostrar que
é subespaço: (A) verificar as três propriedades diretamente, ou (B) notar que
é o núcleo de um funcional linear. Vou fazer os dois (ambos são úteis na prova).
(A) Verificação direta:
- Vetor zero: o polinômio zero
satisfaz . Logo . - Fechamento por soma: suponha
. Então e . Soma: logo . - Fechamento por escalar: seja
e . Então logo .
Assim,
satisfaz as três propriedades e é subespaço.
(B) Observação alternativa (mais conceitual): defina o funcional linear
por
Esse
é linear (avaliar polinômio em um ponto e combinações lineares preservam linearidade). Então
. Kernels de aplicações lineares são subespaços, logo
é subespaço. (Mesmo resultado, caminho mais elegante.)
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resultado das três verificações:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Portanto todas as afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(C)