Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{8} tais que A \vec{v}=0, onde A é uma matriz 3 \times 8 é um subespaço vetorial.
II. O conjunto \{(0,0,0,0)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial. III. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(7)=6 p(2) é um subespaço vetorial.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só III é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique se cada uma das três afirmativas é verdadeira ou falsa, e então escolha a alternativa correta. As afirmativas são:
I. O conjunto de todos \vec{v}\in\mathbb{R}^{8} tais que A\vec{v}=0, onde A é uma matriz 3\times8, é um subespaço vetorial.
II. O conjunto \{(0,0,0,0)\}\subset\mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(7)=6\,p(2) é um subespaço vetorial.
O que preciso responder: quais dessas afirmativas são verdadeiras (escolher a letra correspondente).

Passo 2

Primeiro, lembrar claramente o que significa “ser um subespaço vetorial” (vou explicar de forma direta e prática). Um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se três propriedades forem satisfeitas:
  1. S contém o vetor zero de V.
  2. S é fechado sob soma: se u\in S e v\in S, então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e c é um escalar (real), então c u\in S.
Essas três condições são fáceis de testar em problemas de prova. Outra observação útil (que vou usar em III): se um conjunto é o núcleo (kernel) de uma transformação linear T, isto é \{x\mid T(x)=0\}, então ele é automaticamente subespaço, porque kernels são sempre subespaços.

Passo 3

Analisando a afirmativa I.
Definição do conjunto: N=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^{8}\mid A\vec{v}=0\}. Esse é exatamente o núcleo (kernel) da transformação linear definida por A (a multiplicação por A é uma transformação linear de \mathbb{R}^{8} em \mathbb{R}^{3}).
Verificação direta das três propriedades:
  • Vetor zero: A\vec{0}=\vec{0}, logo \vec{0}\in N.
  • Fechamento por soma: se A\vec{u}=\vec{0} e A\vec{v}=\vec{0}, então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0},logo \vec{u}+\vec{v}\in N.
  • Fechamento por escalar: se A\vec{v}=\vec{0} e c\in\mathbb{R}, então A(c\vec{v})=c\,(A\vec{v})=c\vec{0}=\vec{0},logo c\vec{v}\in N.
Conclusão: N satisfaz as três propriedades, portanto a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa II.
O conjunto é S=\{(0,0,0,0)\}, o conjunto unitário contendo apenas o vetor zero de \mathbb{R}^{4}.
Verificação direta:
  • Contém o vetor zero? Sim, por definição.
  • Soma: se u e v estão em S, então necessariamente u=v=(0,0,0,0), e u+v=(0,0,0,0)\in S.
  • Escalar: se u=(0,0,0,0)\in S e c\in\mathbb{R}, então c u=(0,0,0,0)\in S.
Esse conjunto é o subespaço trivial (chamado de \{0\}). Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmativa III.
Definir o conjunto
T=\{\,p\in\mathcal{P}_2 \mid p(7)=6\,p(2)\,\},
onde \mathcal{P}_2 é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2.
Dois caminhos para mostrar que T é subespaço: (A) verificar as três propriedades diretamente, ou (B) notar que T é o núcleo de um funcional linear. Vou fazer os dois (ambos são úteis na prova).
(A) Verificação direta:
  • Vetor zero: o polinômio zero p(x)\equiv 0 satisfaz p(7)=0=6\cdot 0=6p(2). Logo 0\in T.
  • Fechamento por soma: suponha p,q\in T. Então p(7)=6p(2) e q(7)=6q(2). Soma: (p+q)(7)=p(7)+q(7)=6p(2)+6q(2)=6\big(p(2)+q(2)\big)=6\,(p+q)(2),logo p+q\in T.
  • Fechamento por escalar: seja c\in\mathbb{R} e p\in T. Então (c p)(7)=c\,p(7)=c\cdot 6p(2)=6\big(c\,p(2)\big)=6\,(c p)(2),logo c p\in T.
Assim, T satisfaz as três propriedades e é subespaço.
(B) Observação alternativa (mais conceitual): defina o funcional linear L:\mathcal{P}_2\to\mathbb{R} por
L(p)=p(7)-6\,p(2).
Esse L é linear (avaliar polinômio em um ponto e combinações lineares preservam linearidade). Então T=\ker L. Kernels de aplicações lineares são subespaços, logo T é subespaço. (Mesmo resultado, caminho mais elegante.)
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resultado das três verificações:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Portanto todas as afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(C)

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