Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{6} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] \text {. }
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
II. Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
III. Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado fornece um conjunto \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{6} e dois sistemas lineares dados por suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right].
As afirmativas a verificar são:
I. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
II. Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
III. Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
Vou decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras ou falsas, mostrando passo a passo as ideias e a teoria necessária.

Passo 2

Definições e ideias principais (aulas rápidas, sem pular etapas):
  • Definição de independência linear (LI): o conjunto \beta é LI se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Em símbolos, \beta é LI se
c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}
implica c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.
  • Dependência linear (LD) é o contrário: existe uma combinação não-trivial que dá o zero, isto é, existem c_i, nem todos zero, tal que a soma acima é \overrightarrow{0}.
  • Sistema homogêneo e núcleo: o sistema A\vec{x}=\overrightarrow{0} (homogêneo) sempre tem a solução trivial \vec{x}=\overrightarrow{0}. As soluções formam o núcleo (nullspace) de A. Se o número de incógnitas excede o posto (rank) de A, o núcleo tem dimensão positiva e, portanto, existem infinitas soluções não-triviais.
  • Interpretação das matrizes dadas:
    • Em S_{1} a matriz de coeficientes é A=[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}] (matriz 6\times3) e procura-se (x_{1},x_{2},x_{3}) tal que x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
    • Em S_{2} procura-se (a,b) tais que a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}; isto é, verifica-se se \vec{v}_{3} pertence ao espaço gerado por \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.

Passo 3

Análise de S_{1} (homogêneo) com base na independência de \beta.
  • Se \beta é LI, então por definição a única solução da soma x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0} é x_{1}=x_{2}=x_{3}=0. Logo, quando \beta é LI, S_{1} tem exatamente a solução trivial — isto é, tem solução única.
  • Se \beta é LD, então existe uma combinação não-trivial que zera, logo o núcleo de A tem dimensão pelo menos 1. Como o espaço de incógnitas é \mathbb{R}^{3}, isso implica existência de infinitas soluções não-triviais (uma reta ou plano de soluções). Portanto, quando \beta é LD, S_{1} tem infinitas soluções.
Conclusão parcial sobre II: a afirmativa II diz “Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.” Isso contradiz o que acabamos de ver: se \beta é LI, S_{1} tem solução única (a trivial). Logo, II é falsa.
(Explicando de modo bem concreto: LI significa que as três colunas são pivôs independentes — rango 3 — então não sobra grau de liberdade para ter infinitas soluções do homogêneo.)

Passo 4

Análise de S_{2}: a equação a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}.
  • Observação-chave: para que exista alguma solução, \vec{v}_{3} deve pertencer ao subespaço \operatorname{Span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Para que essa solução seja única, além de existir, é necessário que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} sejam LI (ou seja, formem uma base de dimensão 2 do subespaço gerado por eles). Em termos de posto: se \operatorname{rank}([\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}])=2 e \vec{v}_{3} está no span, então o sistema tem exatamente uma solução; se \operatorname{rank}([\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}])=1 e \vec{v}_{3} está no mesmo span, então há infinitas soluções.
  • Agora considere a hipótese da afirmativa I: “Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.” Suponha \beta é LI. Isso significa que \vec{v}_{3} NÃO é combinação linear de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. Em outras palavras, \vec{v}_{3}\notin\operatorname{Span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Logo a equação a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} não tem solução alguma (inconsistente). Portanto, quando \beta é LI, S_{2} geralmente NÃO tem solução, e nunca tem solução única — tem zero soluções. Assim a afirmativa I é falsa.
(Resumo simples: três vetores LI significam que nenhum deles é combinação dos outros; portanto \vec{v}_{3} não está no span de \vec{v}_{1},\vec{v}_{2}, e S_{2} não tem solução.)

Passo 5

Análise da afirmativa III: “Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.”
  • A palavra-chave é “pode”: basta mostrar que existe ao menos uma configuração em que \beta é LD e S_{2} tem solução única.
  • Condição para S_{2} ter solução única: \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} devem ser LI e \vec{v}_{3} deve pertencer a \operatorname{Span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Nessas condições \operatorname{rank}([\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}])=2 e a solução de a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} é única.
  • Isso é compatível com \beta ser LD: se \vec{v}_{3} é combinação linear de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} e \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI, então os três vetores são linearmente dependentes (porque \vec{v}_{3} depende dos dois primeiros). Portanto \beta é LD e S_{2} tem solução única.
  • Exemplo concreto e simples (para fixar): escolha
    \vec{v}_{1}=(1,0,0,0,0,0),\quad \vec{v}_{2}=(0,1,0,0,0,0),\quad \vec{v}_{3}=(1,1,0,0,0,0).
    Aqui \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são LI, e \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}. Logo \beta é LD e o sistema a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} tem a única solução a=1,\\ b=1. Isso mostra que é possível (ou seja, “pode”) ter solução única quando \beta é LD.
Portanto III é verdadeira.

Passo 6

Resumo final das verificações:
  • I é falsa (pois \beta LI implica que \vec{v}_{3} não está no span de \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, então S_{2} não tem solução).
  • II é falsa (se \beta é LI, o homogêneo S_{1} tem apenas a solução trivial, não infinitas).
  • III é verdadeira (há casos em que \beta é LD e S_{2} tem solução única; exemplo construtivo foi dado).

Resposta

(A) Só III é verdadeira.

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