Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LI, então
tem solução única.
II. Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.
III. Se
é LD, então
pode ter solução única.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado fornece um conjunto
e dois sistemas lineares dados por suas matrizes aumentadas:
As afirmativas a verificar são:
I. Se é LI, então
tem solução única.
II. Se é LI, então
pode ter infinitas soluções.
III. Se é LD, então
pode ter solução única.
I. Se
II. Se
III. Se
Vou decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras ou falsas, mostrando passo a passo as ideias e a teoria necessária.
Passo 2
Definições e ideias principais (aulas rápidas, sem pular etapas):
- Definição de independência linear (LI): o conjunto
é LI se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Em símbolos, é LI se
implica
.
-
Dependência linear (LD) é o contrário: existe uma combinação não-trivial que dá o zero, isto é, existem
, nem todos zero, tal que a soma acima é . -
Sistema homogêneo e núcleo: o sistema
(homogêneo) sempre tem a solução trivial . As soluções formam o núcleo (nullspace) de . Se o número de incógnitas excede o posto (rank) de , o núcleo tem dimensão positiva e, portanto, existem infinitas soluções não-triviais. -
Interpretação das matrizes dadas:
- Em
a matriz de coeficientes é (matriz ) e procura-se tal que . - Em
procura-se tais que ; isto é, verifica-se se pertence ao espaço gerado por .
- Em
Passo 3
Análise de
(homogêneo) com base na independência de
.
-
Se
é LI, então por definição a única solução da soma é . Logo, quando é LI, tem exatamente a solução trivial — isto é, tem solução única. -
Se
é LD, então existe uma combinação não-trivial que zera, logo o núcleo de tem dimensão pelo menos . Como o espaço de incógnitas é , isso implica existência de infinitas soluções não-triviais (uma reta ou plano de soluções). Portanto, quando é LD, tem infinitas soluções.
Conclusão parcial sobre II: a afirmativa II diz “Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.” Isso contradiz o que acabamos de ver: se
é LI,
tem solução única (a trivial). Logo, II é falsa.
(Explicando de modo bem concreto: LI significa que as três colunas são pivôs independentes — rango
— então não sobra grau de liberdade para ter infinitas soluções do homogêneo.)
Passo 4
Análise de
: a equação
.
-
Observação-chave: para que exista alguma solução,
deve pertencer ao subespaço . Para que essa solução seja única, além de existir, é necessário que e sejam LI (ou seja, formem uma base de dimensão do subespaço gerado por eles). Em termos de posto: se e está no span, então o sistema tem exatamente uma solução; se e está no mesmo span, então há infinitas soluções. -
Agora considere a hipótese da afirmativa I: “Se
é LI, então tem solução única.” Suponha é LI. Isso significa que NÃO é combinação linear de e . Em outras palavras, . Logo a equação não tem solução alguma (inconsistente). Portanto, quando é LI, geralmente NÃO tem solução, e nunca tem solução única — tem zero soluções. Assim a afirmativa I é falsa.
(Resumo simples: três vetores LI significam que nenhum deles é combinação dos outros; portanto
não está no span de
, e
não tem solução.)
Passo 5
Análise da afirmativa III: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
-
A palavra-chave é “pode”: basta mostrar que existe ao menos uma configuração em que
é LD e tem solução única. -
Condição para
ter solução única: e devem ser LI e deve pertencer a . Nessas condições e a solução de é única. -
Isso é compatível com
ser LD: se é combinação linear de e e são LI, então os três vetores são linearmente dependentes (porque depende dos dois primeiros). Portanto é LD e tem solução única. -
Exemplo concreto e simples (para fixar): escolhaAqui
e são LI, e . Logo é LD e o sistema tem a única solução . Isso mostra que é possível (ou seja, “pode”) ter solução única quando é LD.
Portanto III é verdadeira.
Passo 6
Resumo final das verificações:
- I é falsa (pois
LI implica que não está no span de , então não tem solução). - II é falsa (se
é LI, o homogêneo tem apenas a solução trivial, não infinitas). - III é verdadeira (há casos em que
é LD e tem solução única; exemplo construtivo foi dado).
Resposta
(A) Só III é verdadeira.