Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
Passo 1
O enunciado nos dá dois planos afins em \mathbb{R}^4. Vou listar exatamente os dados (cada vetor representado na mesma ordem do enunciado):
Primeiro plano: ponto basep_1=\begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 6\\\ 11\end{pmatrix}e geradoresu_1=\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad u_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -3\\\ -3\end{pmatrix}.Ou seja, o plano é p_1+\operatorname{span}\{u_1,u_2\}.
Segundo plano: ponto basep_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ 1\\\ 17\end{pmatrix}e geradoresv_1=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}.Ou seja, o plano é p_2+\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
O que o exercício pede:
Calcular o ponto \bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr) onde esses dois planos se interceptam.
A pergunta objetiva aqui é: qual é o valor da entrada x_1? (fornecem opções de (A) a (H)).
Passo 2
Estratégia e ideia (do ponto de vista prático): se dois planos afins se intersectam em um ponto, existe uma combinação linear dos geradores do primeiro que, somada ao seu ponto base, é igual a uma combinação linear dos geradores do segundo somada ao seu ponto base. Ou seja, procurar escalares a,b,c,d tais que
p_1 + a u_1 + b u_2 = p_2 + c v_1 + d v_2.
Isto gera um sistema linear de 4 equações (uma por componente) nas 4 incógnitas a,b,c,d. Vou escrever essas equações componente a componente e resolver passo a passo. Antes de montar as equações, vale lembrar: cada componente corresponde a coordenada x_1,x_2,x_3,x_4.
Passo 3
Escrevendo a igualdade componente a componente. Seja