Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -3 \\\\ 6 \\\\ 11 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ 17 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos afins em \mathbb{R}^4. Vou listar exatamente os dados (cada vetor representado na mesma ordem do enunciado):
  • Primeiro plano: ponto base p_1=\begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 6\\\ 11\end{pmatrix}e geradores u_1=\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad u_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -3\\\ -3\end{pmatrix}.Ou seja, o plano é p_1+\operatorname{span}\{u_1,u_2\}.
  • Segundo plano: ponto base p_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ 1\\\ 17\end{pmatrix}e geradores v_1=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}.Ou seja, o plano é p_2+\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
O que o exercício pede:
  • Calcular o ponto \bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr) onde esses dois planos se interceptam.
  • A pergunta objetiva aqui é: qual é o valor da entrada x_1? (fornecem opções de (A) a (H)).

Passo 2

Estratégia e ideia (do ponto de vista prático): se dois planos afins se intersectam em um ponto, existe uma combinação linear dos geradores do primeiro que, somada ao seu ponto base, é igual a uma combinação linear dos geradores do segundo somada ao seu ponto base. Ou seja, procurar escalares a,b,c,d tais que
p_1 + a u_1 + b u_2 = p_2 + c v_1 + d v_2.
Isto gera um sistema linear de 4 equações (uma por componente) nas 4 incógnitas a,b,c,d. Vou escrever essas equações componente a componente e resolver passo a passo. Antes de montar as equações, vale lembrar: cada componente corresponde a coordenada x_1,x_2,x_3,x_4.

Passo 3

Escrevendo a igualdade componente a componente. Seja
p_1 + a u_1 + b u_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 6\\\ 11\end{pmatrix} + a\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -3\\\ -3\end{pmatrix},
e
p_2 + c v_1 + d v_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ 1\\\ 17\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}.
Igualando as componentes obtemos o sistema (uma equação para cada linha):
\begin{cases} -1 + 0\cdot a + 1\cdot b = -1 + 0\cdot c + 0\cdot d,\\[4pt] -3 + (-2)a + 1\cdot b = 3 + 0\cdot c + 2\cdot d,\\[4pt] 6 + 1\cdot a + (-3)b = 1 + 3\cdot c + 3\cdot d,\\[4pt] 11 + 0\cdot a + (-3)b = 17 + (-2)\cdot c + 2\cdot d. \end{cases}
Vou simplificar cada equação.]

Passo 4

Simplificando a primeira equação (componente x_1):
-1 + b = -1 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Ótimo: já encontramos b.

Passo 5

Agora simplifico a quarta equação (componente x_4), lembrando b=0:
11 + (-3)\cdot 0 = 17 -2c +2d \quad\Rightarrow\quad 11 = 17 -2c +2d.
Isolando os termos em c,d:
11-17 = -2c + 2d \quad\Rightarrow\quad -6 = -2c + 2d.
Dividindo por 2:
-3 = -c + d \quad\Rightarrow\quad d = -3 + c.

Passo 6

Agora uso a terceira equação (componente x_3), com b=0:
6 + a = 1 + 3c + 3d.
Isolando a:
a = 1 + 3c + 3d - 6 = -5 + 3c + 3d.
Substituo d = -3 + c:
a = -5 + 3c + 3(-3 + c) = -5 + 3c -9 + 3c = -14 + 6c.
Portanto
a = -14 + 6c.

Passo 7

Agora uso a segunda equação (componente x_2), com b=0:
-3 - 2a = 3 + 2d.
Isolando a:
-2a = 3 + 2d + 3 = 6 + 2d \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{6+2d}{2} = -3 - d.
Substituindo d = -3 + c nesta expressão:
a = -3 - (-3 + c) = -3 + 3 - c = -c.
Portanto obtemos outra expressão para a:
a = -c.

Passo 8

Agora igualamos as duas expressões para a obtidas nos passos anteriores:
-14 + 6c = -c.
Resolver:
-14 + 6c + c = 0 \quad\Rightarrow\quad -14 + 7c = 0 \quad\Rightarrow\quad 7c = 14 \quad\Rightarrow\quad c = 2.
Com c=2 obtemos
a = -c = -2,\qquad d = -3 + c = -1,\qquad b=0.

Passo 9

Agora calculo o ponto de interseção usando, por exemplo, p_1 + a u_1 + b u_2. Com a=-2 e b=0:
a u_1 = -2\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 4\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}.
Somando a p_1:
\begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 6\\\ 11\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\ 4\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 4\\\ 11\end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional): usando p_2 + c v_1 + d v_2 com c=2,d=-1 também dá
\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 4\\\ 11\end{pmatrix},
então é consistente. Logo a interseção é o ponto \bigl(-1,1,4,11\bigr).

Resposta

(F) -1

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