Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} .
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações (**).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (3,-5),(-5,3) e (-3,-1).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 10.4
(B) 11.4
(C) 12.4
(D) 13.4
(E) 14.4
(F) 15.4
(G) 16.4
(H) 17.4

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos pelos quais um mesmo círculo passa e pede o centro e o raio; em seguida quer que escolhamos a opção cujo valor do raio é o mais próximo do real. Os dados fornecidos são os pontos
(3,-5),\quad (-5,3),\quad (-3,-1).
Também é dada a forma expandida da equação do círculo:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
onde as constantes a,b,c são relacionadas ao centro (x_{0},y_{0}) e ao raio r por
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
O que precisamos fazer: determinar a,b,c a partir dos três pontos (resolvendo um sistema linear), depois obter (x_{0},y_{0}) e finalmente r. Por fim, comparar r com as opções e indicar qual é a mais próxima.

Passo 2

Vamos montar as equações obtidas ao substituir cada ponto na equação \,x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
Para (3,-5):
x^{2}+y^{2}=3^{2}+(-5)^{2}=9+25=34,
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34 + a\cdot 3 + b\cdot(-5)=c.
Escrevendo de forma limpa:
3a -5b +34 = c. \tag{1}
Para (-5,3):
x^{2}+y^{2}=(-5)^{2}+3^{2}=25+9=34,
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34 + a\cdot(-5) + b\cdot 3 = c,
ou
-5a +3b +34 = c. \tag{2}
Para (-3,-1):
x^{2}+y^{2}=(-3)^{2}+(-1)^{2}=9+1=10,
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10 + a\cdot(-3) + b\cdot(-1) = c,
ou
-3a - b +10 = c. \tag{3}
Temos três equações lineares em a,b,c.

Passo 3

Para eliminar c (porque aparece igual nas três equações), subtraímos pares de equações. Subtrair (2) de (1) dá:
(3a -5b +34) - (-5a +3b +34) = c - c = 0.
Simplificando os termos:
3a -5b +34 +5a -3b -34 = 0 \quad\Rightarrow\quad 8a -8b = 0.
Dividindo por 8:
a - b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = b. \tag{4}
Agora subtraímos (3) de (1):
(3a -5b +34) - (-3a - b +10) = 0.
Simplificando:
3a -5b +34 +3a + b -10 = 0 \quad\Rightarrow\quad 6a -4b +24 = 0.
Dividindo por 2:
3a -2b +12 = 0. \tag{5}

Passo 4

Usando a=b (fórmula (4)) na equação (5):
3a -2a +12 = 0 \quad\Rightarrow\quad a +12 = 0.
Logo
a = -12.
Pela (4), b=a, então
b = -12.

Passo 5

Agora encontramos c substituindo a e b em qualquer das equações originais, por exemplo em (1):
c = 3a -5b +34 = 3(-12) -5(-12) +34.
Calcule passo a passo:
3(-12) = -36,\qquad -5(-12)=+60,
então
c = -36 +60 +34 = 24 +34 = 58.
Portanto
a=-12,\quad b=-12,\quad c=58.

Passo 6

Agora usamos as relações com o centro e raio:
a = -2x_{0}\quad\Rightarrow\quad -12 = -2x_{0}\quad\Rightarrow\quad x_{0}=6,
b = -2y_{0}\quad\Rightarrow\quad -12 = -2y_{0}\quad\Rightarrow\quad y_{0}=6.
Logo o centro é (x_{0},y_{0})=(6,6).
Para o raio, usamos c = r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}. Substituindo:
58 = r^{2} - 6^{2} - 6^{2} = r^{2} -36 -36 = r^{2} -72.
Assim
r^{2} = 58 +72 = 130,
e
r = \sqrt{130}.

Passo 7

Vamos aproximar \sqrt{130}. Observando que 11^{2}=121 e 12^{2}=144, tem-se
11<\sqrt{130}<12.
Uma aproximação rápida: 130-121=9 e 144-121=23, então \sqrt{130} está cerca de 11 + \dfrac{9}{2\cdot 11 + \text{pequeno}}, mas podemos usar a aproximação direta conhecida \sqrt{130}\approx 11,401754. Arredondando para uma casa decimal obtemos 11,4.
Comparando com as opções fornecidas, a mais próxima é (B)\\\ 11,4.

Resposta

(B) 11,4

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