Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações (**).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (3,-5),(-5,3) e (-3,-1).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 10.4
(B) 11.4
(C) 12.4
(D) 13.4
(E) 14.4
(F) 15.4
(G) 16.4
(H) 17.4
Passo 1
O enunciado nos dá três pontos pelos quais um mesmo círculo passa e pede o centro e o raio; em seguida quer que escolhamos a opção cujo valor do raio é o mais próximo do real. Os dados fornecidos são os pontos
(3,-5),\quad (-5,3),\quad (-3,-1).
Também é dada a forma expandida da equação do círculo:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
onde as constantes a,b,c são relacionadas ao centro (x_{0},y_{0}) e ao raio r por
O que precisamos fazer: determinar a,b,c a partir dos três pontos (resolvendo um sistema linear), depois obter (x_{0},y_{0}) e finalmente r. Por fim, comparar r com as opções e indicar qual é a mais próxima.
Passo 2
Vamos montar as equações obtidas ao substituir cada ponto na equação \,x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
Para (3,-5):
x^{2}+y^{2}=3^{2}+(-5)^{2}=9+25=34,
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34 + a\cdot 3 + b\cdot(-5)=c.
Escrevendo de forma limpa:
3a -5b +34 = c. \tag{1}
Para (-5,3):
x^{2}+y^{2}=(-5)^{2}+3^{2}=25+9=34,
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34 + a\cdot(-5) + b\cdot 3 = c,
ou
-5a +3b +34 = c. \tag{2}
Para (-3,-1):
x^{2}+y^{2}=(-3)^{2}+(-1)^{2}=9+1=10,
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10 + a\cdot(-3) + b\cdot(-1) = c,
ou
-3a - b +10 = c. \tag{3}
Temos três equações lineares em a,b,c.
Passo 3
Para eliminar c (porque aparece igual nas três equações), subtraímos pares de equações. Subtrair (2) de (1) dá:
Vamos aproximar \sqrt{130}. Observando que 11^{2}=121 e 12^{2}=144, tem-se
11<\sqrt{130}<12.
Uma aproximação rápida: 130-121=9 e 144-121=23, então \sqrt{130} está cerca de 11 + \dfrac{9}{2\cdot 11 + \text{pequeno}}, mas podemos usar a aproximação direta conhecida \sqrt{130}\approx 11,401754. Arredondando para uma casa decimal obtemos 11,4.
Comparando com as opções fornecidas, a mais próxima é (B)\\\ 11,4.