Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{7} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
A) Só I é verdadeira.
B) Só II é verdadeira.
C) Todas são falsas.
D) Só III é verdadeira.
E) Todas são verdadeiras.
F) Só II e III são verdadeiras.
G) Só I e II são verdadeiras.
H) Só I e III são verdadeiras.
I) Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
II) Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
III) Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um conjunto \beta=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}\subset\mathbb{R}^7.
  • Dois sistemas lineares representados por matrizes aumentadas:
    • S_{1}:\left[\begin{array}{ccc|c}\vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \vec{v}_3 & \overrightarrow{0}\end{array}\right].
    • S_{2}:\left[\begin{array}{cc|c}\vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \vec{v}_3\end{array}\right].
      (Interpreto S_2 como o sistema que representa \,x\vec{v}_1+y\vec{v}_2=\vec{v}_3\,.)
As três afirmativas a avaliar são:
I) Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
II) Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
III) Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas soluções.
O objetivo é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Definição e consequência básica (aulas rápidas em linguagem simples).
  • Um conjunto de vetores \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é linearmente independente (LI) quando a única solução do sistema
a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + a_3\vec{v}_3 = \overrightarrow{0}
é a_1=a_2=a_3=0. Se existir algum coeficiente não nulo que satisfaça essa igualdade, os vetores são linearmente dependentes (LD).
  • Para o sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} (aqui A tem colunas \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3), ter colunas LI significa que a única solução é a trivial \vec{x}=\overrightarrow{0}. Se as colunas forem LD, então o homogêneo terá infinitas soluções (pois há liberdade de parâmetros).

Passo 3

Analisando S_{1}.
  • S_{1} é o sistema homogêneo com coeficientes sendo as colunas \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3:
x_1\vec{v}_1 + x_2\vec{v}_2 + x_3\vec{v}_3 = \overrightarrow{0}.
  • Se \beta é LI, pela definição acima a única solução desse sistema é (x_1,x_2,x_3)=(0,0,0). Portanto S_{1} tem solução única (a trivial), não pode ter infinitas soluções.
    Conclusão imediata: a afirmativa II (“Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções”) é falsa.

Passo 4

Interpretando S_{2} corretamente.
  • S_{2} representa o sistema
x\vec{v}_1 + y\vec{v}_2 = \vec{v}_3,
isto é, encontrar escalares x,y tais que a combinação linear das duas primeiras colunas dá a terceira coluna. Então as possibilidades são: nenhuma solução, única solução, ou infinitas soluções, dependendo de como \vec{v}_3 se relaciona com \vec{v}_1,\vec{v}_2.

Passo 5

Analisando a afirmativa I (“Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única”).
  • Suponha \beta LI. Então não existe relação não trivial
a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + a_3\vec{v}_3 = \overrightarrow{0}.
  • Se existissem x,y tais que x\vec{v}_1+y\vec{v}_2=\vec{v}_3, reescrevendo dá
x\vec{v}_1 + y\vec{v}_2 - 1\cdot\vec{v}_3 = \overrightarrow{0},
o que é uma combinação linear não trivial (ao menos o coeficiente de \vec{v}_3 é -1), contradizendo LI. Logo, quando \beta é LI, não pode haver solução para x\vec{v}_1+y\vec{v}_2=\vec{v}_3; isto é, S_2 NÃO tem solução (caso sem solução), muito menos uma solução única.
Portanto a afirmativa I é falsa.

Passo 6

Analisando a afirmativa III (“Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas soluções”).
  • Se \beta é LD, então existe uma relação não trivial
a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + a_3\vec{v}_3 = \overrightarrow{0}.
  • Em particular, entre três vetores dependentes sempre algum vetor é combinação dos outros dois (porque são apenas três vetores). Mas isso não garante que seja exatamente \vec{v}_3 que esteja no span \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}; pode acontecer que, por exemplo, \vec{v}_1 seja combinação de \vec{v}_2 e \vec{v}_3.
  • Caso favorável: se realmente \vec{v}_3\in\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} e, além disso, \vec{v}_1,\vec{v}_2 forem LD (ou LI), então a equação pode ter uma solução única (se \vec{v}_1,\vec{v}_2 forem LI) ou infinitas (se \vec{v}_1,\vec{v}_2 forem LD). Assim dependência de \beta por si só não decide se S_2 terá soluções infinitas.
  • Contraexemplo simples que mostra que III é falsa: tome em \mathbb{R}^7 vetores \vec{v}_1,\vec{v}_2 LI e \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2. Então \beta é LD (porque \vec{v}_1+\vec{v}_2-\vec{v}_3=\overrightarrow{0}), e o sistema
x\vec{v}_1+y\vec{v}_2=\vec{v}_3
tem a solução única x=1,y=1 (pois \vec{v}_1,\vec{v}_2 são LI). Logo é possível ter exatamente uma solução, não infinitas. Portanto a afirmativa III é falsa.

Passo 7

Resumo lógico final das três afirmações:
  • I é falsa (quando \beta é LI, S_2 tem, na verdade, nenhuma solução).
  • II é falsa (quando \beta é LI, S_1 tem solução única trivial, não infinitas).
  • III é falsa (dependência de \beta não garante soluções infinitas para S_2; pode dar nenhuma, única ou infinitas dependendo do caso).
Portanto todas as três afirmações são falsas.

Resposta

C

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