Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
A) Só I é verdadeira.
B) Só II é verdadeira.
C) Todas são falsas.
D) Só III é verdadeira.
E) Todas são verdadeiras.
F) Só II e III são verdadeiras.
G) Só I e II são verdadeiras.
H) Só I e III são verdadeiras.
I) Se
é LI, então
tem solução única.
II) Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.
III) Se
é LD, então
tem infinitas solução.
A) Só I é verdadeira.
B) Só II é verdadeira.
C) Todas são falsas.
D) Só III é verdadeira.
E) Todas são verdadeiras.
F) Só II e III são verdadeiras.
G) Só I e II são verdadeiras.
H) Só I e III são verdadeiras.
I) Se
II) Se
III) Se
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Um conjunto
. - Dois sistemas lineares representados por matrizes aumentadas:
-
. -
.
(Interpretocomo o sistema que representa .)
-
As três afirmativas a avaliar são:
I) Se é LI, então
tem solução única.
II) Se é LI, então
pode ter infinitas soluções.
III) Se é LD, então
tem infinitas soluções.
I) Se
II) Se
III) Se
O objetivo é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Definição e consequência básica (aulas rápidas em linguagem simples).
- Um conjunto de vetores
é linearmente independente (LI) quando a única solução do sistema
é
. Se existir algum coeficiente não nulo que satisfaça essa igualdade, os vetores são linearmente dependentes (LD).
- Para o sistema homogêneo
(aqui tem colunas ), ter colunas LI significa que a única solução é a trivial . Se as colunas forem LD, então o homogêneo terá infinitas soluções (pois há liberdade de parâmetros).
Passo 3
Analisando
.
-
é o sistema homogêneo com coeficientes sendo as colunas :
- Se
é LI, pela definição acima a única solução desse sistema é . Portanto tem solução única (a trivial), não pode ter infinitas soluções.
Conclusão imediata: a afirmativa II (“Seé LI, então pode ter infinitas soluções”) é falsa.
Passo 4
Interpretando
corretamente.
-
representa o sistema
isto é, encontrar escalares
tais que a combinação linear das duas primeiras colunas dá a terceira coluna. Então as possibilidades são: nenhuma solução, única solução, ou infinitas soluções, dependendo de como
se relaciona com
.
Passo 5
Analisando a afirmativa I (“Se
é LI, então
tem solução única”).
- Suponha
LI. Então não existe relação não trivial
- Se existissem
tais que , reescrevendo dá
o que é uma combinação linear não trivial (ao menos o coeficiente de
é
), contradizendo LI. Logo, quando
é LI, não pode haver solução para
; isto é,
NÃO tem solução (caso sem solução), muito menos uma solução única.
Portanto a afirmativa I é falsa.
Portanto a afirmativa I é falsa.
Passo 6
Analisando a afirmativa III (“Se
é LD, então
tem infinitas soluções”).
- Se
é LD, então existe uma relação não trivial
- Em particular, entre três vetores dependentes sempre algum vetor é combinação dos outros dois (porque são apenas três vetores). Mas isso não garante que seja exatamente
que esteja no span ; pode acontecer que, por exemplo, seja combinação de e . - Caso favorável: se realmente
e, além disso, forem LD (ou LI), então a equação pode ter uma solução única (se forem LI) ou infinitas (se forem LD). Assim dependência de por si só não decide se terá soluções infinitas. - Contraexemplo simples que mostra que III é falsa: tome em
vetores LI e . Então é LD (porque ), e o sistema
tem a solução única
(pois
são LI). Logo é possível ter exatamente uma solução, não infinitas. Portanto a afirmativa III é falsa.
Passo 7
Resumo lógico final das três afirmações:
- I é falsa (quando
é LI, tem, na verdade, nenhuma solução). - II é falsa (quando
é LI, tem solução única trivial, não infinitas). - III é falsa (dependência de
não garante soluções infinitas para ; pode dar nenhuma, única ou infinitas dependendo do caso).
Portanto todas as três afirmações são falsas.
Resposta
C