Q12: Sejam \vec{v}=(-8,4,0,1) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\text {a }} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado dá:
  • O vetor \vec{v}=(-8,4,0,1).
  • O subespaço H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-2y+3z+w=0\}.
    O que se pede:
  • Calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
  • Determinar o valor da terceira entrada \,w_{3}\, de \vec{w}.
    Dica do enunciado: projetar \vec{v} em H^{\perp} pode ser mais fácil.

Passo 2

Idéia chave (sem cálculos ainda): qualquer vetor \vec{v} em \mathbb{R}^4 se decompõe de forma única como
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u}\in H^{\perp}. Assim
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
Logo, se encontrarmos \vec{u}, a projeção de \vec{v} sobre H^{\perp}, subtraímos de \vec{v} e obtemos \vec{w}. Isso é conveniente quando H^{\perp} é de dimensão 1.

Passo 3

Encontrar um gerador de H^{\perp}: a equação que define H tem coeficientes que formam um vetor normal a H. Portanto
\vec{n}=(1,-2,3,1)
é um vetor não-nulo ortogonal a todo vetor de H, ou seja H^{\perp}=\operatorname{span}\{\vec{n}\} (dimensão 1). A projeção ortogonal de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n} é dada pela fórmula clássica
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=\frac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle}\,\vec{n},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar padrão. Explicando o que é cada coisa:
  • \langle\vec{v},\vec{n}\rangle é a soma dos produtos das componentes correspondentes (o produto escalar).
  • \langle\vec{n},\vec{n}\rangle é o quadrado da norma de \vec{n}.
    A razão \dfrac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle} é um escalar que dá quanto de \vec{n} aparece na projeção.
Como exemplo rápido e concreto (para fixar a ideia): projetar (2,0) sobre a reta gerada por (1,1).
\langle(2,0),(1,1)\rangle=2,\qquad \langle(1,1),(1,1)\rangle=2,
logo
\operatorname{proj}_{(1,1)}(2,0)=\frac{2}{2}(1,1)=(1,1).
Esse exemplo mostra a aplicação direta da fórmula.

Passo 4

Calcular \langle\vec{v},\vec{n}\rangle:
\langle\vec{v},\vec{n}\rangle = (-8)\cdot 1 + 4\cdot(-2) + 0\cdot 3 + 1\cdot 1.
Fazendo as contas passo a passo:
(-8)\cdot 1 = -8,\quad 4\cdot(-2)=-8,\quad 0\cdot 3=0,\quad 1\cdot 1=1.
Somando:
\langle\vec{v},\vec{n}\rangle = -8-8+0+1 = -15.

Passo 5

Calcular \langle\vec{n},\vec{n}\rangle:
\langle\vec{n},\vec{n}\rangle = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 + 1^2.
Fazendo as contas:
1^2=1,\quad (-2)^2=4,\quad 3^2=9,\quad 1^2=1,
logo
\langle\vec{n},\vec{n}\rangle = 1+4+9+1 = 15.

Passo 6

Agora a razão escalar é
\frac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle}=\frac{-15}{15}=-1.
Portanto a projeção de \vec{v} sobre H^{\perp} é
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v}) = -1\cdot \vec{n} = -1\cdot(1,-2,3,1)=(-1,2,-3,-1).

Passo 7

Como \vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v}), então
\vec{w}=(-8,4,0,1)-(-1,2,-3,-1).
Subtraindo componente a componente (mostrando cada operação):
\begin{aligned} w_{1} &= -8 - (-1) = -8+1 = -7,\\\ w_{2} &= 4 - 2 = 2,\\\ w_{3} &= 0 - (-3) = 0+3 = 3,\\\ w_{4} &= 1 - (-1) = 1+1 = 2. \end{aligned}
Portanto \vec{w}=(-7,2,3,2) e a terceira entrada vale \,w_{3}=3.

Resposta

(C) 3

Exercícios relacionados