Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado dá:
- O vetor
. - O subespaço
.
O que se pede: - Calcular
, a projeção ortogonal de sobre . - Determinar o valor da terceira entrada
de .
Dica do enunciado: projetarem pode ser mais fácil.
Passo 2
Idéia chave (sem cálculos ainda): qualquer vetor
em
se decompõe de forma única como
onde
e
. Assim
Logo, se encontrarmos
, a projeção de
sobre
, subtraímos de
e obtemos
. Isso é conveniente quando
é de dimensão
.
Passo 3
Encontrar um gerador de
: a equação que define
tem coeficientes que formam um vetor normal a
. Portanto
é um vetor não-nulo ortogonal a todo vetor de
, ou seja
(dimensão
). A projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por
é dada pela fórmula clássica
onde
é o produto escalar padrão. Explicando o que é cada coisa:
-
é a soma dos produtos das componentes correspondentes (o produto escalar). -
é o quadrado da norma de .
A razãoé um escalar que dá quanto de aparece na projeção.
Como exemplo rápido e concreto (para fixar a ideia): projetar
sobre a reta gerada por
.
logo
Esse exemplo mostra a aplicação direta da fórmula.
Passo 4
Calcular
:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Passo 5
Calcular
:
Fazendo as contas:
logo
Passo 6
Agora a razão escalar é
Portanto a projeção de
sobre
é
Passo 7
Como
, então
Subtraindo componente a componente (mostrando cada operação):
Portanto
e a terceira entrada vale
.
Resposta
(C) 3