O que se pede: encontrar a solução \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} que minimiza o erro quadrático \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}, e em particular informar o valor de x_{2}.
Passo 2
Por que usar mínimos quadrados e qual fórmula usar?
Quando temos mais equações que incógnitas (aqui 4>3), o sistema pode não ter solução exata. A solução de mínimos quadrados é a \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos. O método padrão leva às equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Explicando: A^{T}A é uma matriz 3\times3 obtida multiplicando a transposta de A pela própria A; A^{T}\vec{b} é um vetor de comprimento 3. Resolver essas equações (um sistema quadrado) dá a solução de mínimos quadrados. Vou calcular A^{T}A e A^{T}b explicitamente.
Passo 3
Calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b} componente a componente (mostrando como cada entrada é soma de produtos coordenada a coordenada).
Primeiro, as linhas de A (já listadas) serão usadas para somar produtos.
Recapitulando com calma e incentivo: fizemos as equações normais A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}, calculei A^{T}A e A^{T}\vec{b} passo a passo (somando produtos linha a linha), e então resolvi o sistema quadrado resultante por eliminação de Gauss. Saiu uma solução bem simples: \vec{x}=(1,2,2)^{T}. Vai dar certo na prova — respira, refaz os passos devagar e ganhou o raciocínio!