Q8) Seja um elétron confinado em um potencial igual à
U(x)=\left\{\begin{aligned} \infty, & \text { para } x<0 \\\\ 0, & \text { para } 0 \leq x \leq a \\\ U_{1}, & \text { para } x>a \end{aligned}\right.
Verifique se o terceiro estado é ligado. Considere a=1 nm e U_{1}=2,0 \mathrm{eV}.

Passo 1

O problema pede que verifiquemos se o terceiro estado (o nível com n=3\)) de um elétron confinado no potencial dado é um estado ligado. Informações do enunciado que vamos usar: \[U(x)=\begin{cases} \infty, & x<0,\\[4pt] 0, & 0\le x\le a,\\[4pt] U_1, & x>a, \end{cases}
com a=1\\ \text{nm}\] e \(U_1=2,0\\ \text{eV}.
Queremos determinar se a energia do terceiro nível discreto está abaixo de U_1 (ou seja, se E_3<U_1). Se E_3<U_1 o estado é ligado (onda evanescente para x>a); se E_3\ge U_1 não é ligado.]

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger nas três regiões e soluções qualitativas.
  • Região I ( x<0): U=\infty força \psi(0)=0.
  • Região II ( 0\le x\le a, U=0): solução geral para energia E positiva é combinação de senos e cossenos. A condição \psi(0)=0 seleciona solução proporcional a \sin(kx), onde
k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
  • Região III ( x>a, U=U_1): se E<U_1 a solução decai exponencialmente para a direita, do tipo C e^{-\kappa(x-a)} com
\kappa=\frac{\sqrt{2m(U_1-E)}}{\hbar}.
Se E\ge U_1 a solução em x>a é oscilatória (estado não ligado). Portanto, condição de ligação é E<U_1.

Passo 3

Condições de contorno em x=a (continuidade de \psi e \psi') geram a equação transcendental que quantiza E. Para \psi_{II}(x)=A\sin(kx) e \psi_{III}(x)=B e^{-\kappa(x-a)} temos em x=a:
A\sin(ka)=B,
kA\cos(ka)=-\kappa B.
Dividindo a segunda pela primeira obtemos a condição de quantização
k\cot(ka)=-\kappa.

Passo 4

Transformamos a equação em variáveis adimensionais que facilitam a contagem de níveis. Defina
z=ka=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\,a,\qquad \alpha=\frac{\sqrt{2mU_1}}{\hbar}\,a.
Como \kappa=\sqrt{2m(U_1-E)}/\hbar, a condição k\cot(ka)=-\kappa torna-se, após manipulação,
\tan z = -\frac{z}{\sqrt{\alpha^{2}-z^{2}}}.
Observação importante: aqui z>0 e precisamos de \alpha^{2}-z^{2}>0 (ou seja z<\alpha) para que \kappa seja real — condição equivalente a E<U_1. Portanto, soluções admíssiveis z satisfazem 0<z<\alpha e devem respeitar a equação acima.

Passo 5

Análise qualitativa das soluções da equação transcendente. O lado direito -z/\sqrt{\alpha^{2}-z^{2}} é negativo para z>0. Logo \tan z deve ser negativo; isso só ocorre nos intervalos
\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),\quad \left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right),\quad \left(\frac{5\pi}{2},3\pi\right),\dots
Em cada um desses intervalos de z existe, tipicamente, uma solução da equação, desde que o intervalo esteja contido em 0<z<\alpha. Assim, o número de estados ligados é igual ao número de intervalos \left(\frac{(2n-1)\pi}{2},n\pi\right) que têm parte com z<\alpha.

Passo 6

Calculamos \alpha numericamente para os dados do problema. Usamos constantes físicas:
m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},\quad \hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
U_1=2{,}0\\ \mathrm{eV}=2{,}0\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=3{,}204\!\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
a=1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Agora
\alpha^{2}=\frac{2mU_1a^{2}}{\hbar^{2}}.
Substituindo os números (mostrando os passos):
2mU_1 \approx 2\times9{,}10938356\times10^{-31}\times3{,}204\times10^{-19} \approx 5{,}84\times10^{-49},
2mU_1a^{2}\approx 5{,}84\times10^{-49}\times10^{-18}=5{,}84\times10^{-67},
\hbar^{2}\approx(1{,}054571817\times10^{-34})^{2}\approx1{,}112\times10^{-68},
\alpha^{2}\approx\frac{5{,}84\times10^{-67}}{1{,}112\times10^{-68}}\approx52{,}5,
\alpha\approx\sqrt{52{,}5}\approx7{,}25.

Passo 7

Contagem de intervalos de \tan z<0 com z<\alpha. Vamos listar os primeiros intervalos relevantes em termos de z:
\left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right)\approx(1{,}571,3{,}142),
\left(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right)\approx(4{,}712,6{,}283),
\left(\tfrac{5\pi}{2},3\pi\right)\approx(7{,}854,9{,}425).
Como \alpha\approx7{,}25, os dois primeiros intervalos estão totalmente com pontos z<\alpha (o segundo intervalo vai até 6{,}283<7{,}25), mas o terceiro intervalo começa em 7{,}854>\alpha, portanto não pode conter solução com z<\alpha. Conclusão: existem exatamente duas soluções z com 0<z<\alpha que satisfazem a equação — isto é, existem dois estados ligados.

Passo 8

Interpretação física e checagem rápida por comparação com o poço infinito. Para intuição: os níveis de um poço infinito de largura a (paredes infinitas nas duas pontas) são
E_n^{(\infty)}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2ma^{2}}.
Para a=1\\ \text{nm} obtemos numericamente
E_1^{(\infty)}\approx0{,}376\\ \text{eV},\quad E_2^{(\infty)}\approx1{,}506\\ \text{eV},\quad E_3^{(\infty)}\approx3{,}389\\ \text{eV}.
Note que E_3^{(\infty)}>U_1=2{,}0\\ \text{eV}, logo já no modelo do poço infinito o terceiro nível ficaria acima da barreira. No nosso caso real (parede esquerda infinita e barreira finita à direita) os níveis ligados serão ligeiramente mais baixos que no poço infinito, mas não tanto a ponto de trazer E_3 abaixo de U_1. A contagem rigorosa via \alpha na etapa anterior confirma que só há dois estados ligados.

Resposta

Não — o terceiro estado não é ligado.

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