Q8) Seja um elétron confinado em um potencial igual à
U(x)=\left\{\begin{aligned} \infty, & \text { para } x<0 \\\\ 0, & \text { para } 0 \leq x \leq a \\\ U_{1}, & \text { para } x>a \end{aligned}\right.
Verifique se o terceiro estado é ligado. Considere a=1 nm e U_{1}=2,0 \mathrm{eV}.
Passo 1
O problema pede que verifiquemos se o terceiro estado (o nível com n=3\)) de um elétron confinado no potencial dado é um estado ligado.
Informações do enunciado que vamos usar:
\[U(x)=\begin{cases} \infty, & x<0,\\[4pt] 0, & 0\le x\le a,\\[4pt] U_1, & x>a, \end{cases}
com a=1\\ \text{nm}\] e \(U_1=2,0\\ \text{eV}.
Queremos determinar se a energia do terceiro nível discreto está abaixo de U_1 (ou seja, se E_3<U_1). Se E_3<U_1 o estado é ligado (onda evanescente para x>a); se E_3\ge U_1 não é ligado.]
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger nas três regiões e soluções qualitativas.
Região I (x<0): U=\infty força \psi(0)=0.
Região II (0\le x\le a, U=0): solução geral para energia E positiva é combinação de senos e cossenos. A condição \psi(0)=0 seleciona solução proporcional a \sin(kx), onde
k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
Região III (x>a, U=U_1): se E<U_1 a solução decai exponencialmente para a direita, do tipo C e^{-\kappa(x-a)} com
\kappa=\frac{\sqrt{2m(U_1-E)}}{\hbar}.
Se E\ge U_1 a solução em x>a é oscilatória (estado não ligado). Portanto, condição de ligação é E<U_1.
Passo 3
Condições de contorno em x=a (continuidade de \psi e \psi') geram a equação transcendental que quantiza E. Para \psi_{II}(x)=A\sin(kx) e \psi_{III}(x)=B e^{-\kappa(x-a)} temos em x=a:
A\sin(ka)=B,
kA\cos(ka)=-\kappa B.
Dividindo a segunda pela primeira obtemos a condição de quantização
k\cot(ka)=-\kappa.
Passo 4
Transformamos a equação em variáveis adimensionais que facilitam a contagem de níveis. Defina
Como \kappa=\sqrt{2m(U_1-E)}/\hbar, a condição k\cot(ka)=-\kappa torna-se, após manipulação,
\tan z = -\frac{z}{\sqrt{\alpha^{2}-z^{2}}}.
Observação importante: aqui z>0 e precisamos de \alpha^{2}-z^{2}>0 (ou seja z<\alpha) para que \kappa seja real — condição equivalente a E<U_1. Portanto, soluções admíssiveis z satisfazem 0<z<\alpha e devem respeitar a equação acima.
Passo 5
Análise qualitativa das soluções da equação transcendente. O lado direito -z/\sqrt{\alpha^{2}-z^{2}} é negativo para z>0. Logo \tan z deve ser negativo; isso só ocorre nos intervalos
Em cada um desses intervalos de z existe, tipicamente, uma solução da equação, desde que o intervalo esteja contido em 0<z<\alpha. Assim, o número de estados ligados é igual ao número de intervalos \left(\frac{(2n-1)\pi}{2},n\pi\right) que têm parte com z<\alpha.
Passo 6
Calculamos \alpha numericamente para os dados do problema. Usamos constantes físicas:
Como \alpha\approx7{,}25, os dois primeiros intervalos estão totalmente com pontos z<\alpha (o segundo intervalo vai até 6{,}283<7{,}25), mas o terceiro intervalo começa em 7{,}854>\alpha, portanto não pode conter solução com z<\alpha. Conclusão: existem exatamente duas soluções z com 0<z<\alpha que satisfazem a equação — isto é, existem dois estados ligados.
Passo 8
Interpretação física e checagem rápida por comparação com o poço infinito. Para intuição: os níveis de um poço infinito de largura a (paredes infinitas nas duas pontas) são
Note que E_3^{(\infty)}>U_1=2{,}0\\ \text{eV}, logo já no modelo do poço infinito o terceiro nível ficaria acima da barreira. No nosso caso real (parede esquerda infinita e barreira finita à direita) os níveis ligados serão ligeiramente mais baixos que no poço infinito, mas não tanto a ponto de trazer E_3 abaixo de U_1. A contagem rigorosa via \alpha na etapa anterior confirma que só há dois estados ligados.