TESTE RÁPIDO 4.4 Suponha que você esteja falando, através de um telefone interplanetário, com um amigo que mora na Lıa. Ele diz que acabou de ganhar um newton de ouro em uma competição. Entusiasmado, você diz que participou da versão da Terra da mesma competição e que também ganhou um newton de ouro! Quem é mais rico? (a) Você. (b) Seu amigo. (c) Os dois sāo igualmente ricos.

Passo 1

O enunciado pergunta quem é mais rico: eu (na Terra) ou meu amigo (em Lıa), se ambos dizem ter ganho “um newton de ouro” na respectiva competição. As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • Ambos receberam “um newton de ouro” — isto é, a massa de ouro tal que o peso dessa massa na superfície do lugar vale 1\\ \mathrm{N}.
  • Um está na Terra e o outro está em Lıa (supondo que Lıa seja um astro com aceleração da gravidade diferente da da Terra).
    A pergunta a responder é: com base nessas informações, quem tem mais ouro (ou seja, mais massa de ouro) e portanto é mais rico?

Passo 2

Conceitos básicos que precisamos entender (aulas rápidas, sem pular etapas):
  • O newton é a unidade de força no SI. Por definição,
1\\ \mathrm{N} = 1\\ \mathrm{kg\cdot m/s^{2}}.
  • O peso (força gravitacional) de um objeto próximo à superfície de um corpo celeste é dado por
W = m\,g,
onde W é o peso medido em newtons, m é a massa do objeto em quilogramas e g é a aceleração da gravidade local em \mathrm{m/s^{2}}.
Expliquei W, m e g para você: W é o que uma balança marca (em newtons se a balança estiver calibrada para força), m é a quantidade de matéria (o que queremos comparar porque o preço do ouro depende da massa), e g é “quão forte puxa” a gravidade no lugar.

Passo 3

Como ambos receberam uma quantidade de ouro que pesa 1\\ \mathrm{N} no lugar onde estão, em cada caso vale
1\\ \mathrm{N} = m\,g.
Isolando a massa m obtemos a relação importante:
m=\frac{1\\ \mathrm{N}}{g}.
Isto mostra que, para um mesmo peso 1\\ \mathrm{N}, a massa obtida é inversamente proporcional à aceleração da gravidade g: quanto menor g, maior a massa necessária para ter 1\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: seja m_{\text{T}} a massa de ouro que eu (na Terra) ganhei, e m_{\text{L}} a massa que o amigo em Lıa ganhou. Temos
m_{\text{T}}=\frac{1\\ \mathrm{N}}{g_{\text{Terra}}},\qquad m_{\text{L}}=\frac{1\\ \mathrm{N}}{g_{\text{Lıa}}}.
Comparando, se g_{\text{Lıa}}<g_{\text{Terra}} então m_{\text{L}}>m_{\text{T}}. Ou seja: no lugar com gravidade menor, precisa-se de mais massa para alcançar o mesmo peso de 1\\ \mathrm{N}, logo a pessoa que recebeu o “newton de ouro” nesse lugar ganhou mais ouro em massa (e portanto mais valor, assumindo preço proporcional à massa).

Passo 5

Para ver isso com números concretos (exemplo prático que ajuda a fixar): na Terra normalmente usamos g_{\text{Terra}}\approx 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Se Lıa for a Lua, por exemplo, g_{\text{Lıa}}\approx 1,6\\ \mathrm{m/s^{2}}. Então
m_{\text{T}}=\frac{1}{9,8}\\ \mathrm{kg}\approx 0,102\\ \mathrm{kg},
m_{\text{L}}=\frac{1}{1,6}\\ \mathrm{kg}=0,625\\ \mathrm{kg}.
Ou seja, na Lua a pessoa teria cerca de 0,625\\ \mathrm{kg} de ouro contra 0,102\\ \mathrm{kg} na Terra — quase 6 vezes mais ouro. Isso confirma a conclusão anterior de forma numérica.

Passo 6

Conclusão didática e intuitiva: “um newton de ouro” refere-se ao peso (força) e não diretamente à massa. O valor do ouro depende da massa. Em um astro com gravidade menor você precisa de mais massa para que o peso seja 1\\ \mathrm{N}. Portanto quem ganhou “um newton de ouro” no corpo com gravidade menor recebeu mais massa de ouro e é mais rico.

Resposta

(b) Seu amigo.

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