Q8: Seja
um sistema linear com
equações em
variáveis. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
, a solução, se existir, será única.
II - Se
, S terá solução única.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema linear
com
equações e
incógnitas, e pede para avaliar quando a solução é única. O conteúdo envolvido é o conceito de posto (ou rank) de uma matriz e o Teorema de Rouché–Capelli, que afirma:
e o espaço de soluções tem dimensão
Para haver solução única, é preciso que o posto seja igual a
(nenhuma variável livre) e que o sistema seja consistente.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Se
, a solução, se existir, será única.”
Como , se
então
. Logo
Como
isto é, sempre haverá pelo menos uma variável livre quando o sistema for consistente, gerando infinitas soluções. Portanto a afirmativa I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Se
,
terá solução única.”
Quando a matriz
é quadrada, mas para ter solução única é preciso
(equivalente a
) e consistência. Se
, o sistema ou não será consistente ou terá infinitas soluções. Sem a hipótese
, não se garante unicidade. Logo a afirmativa II também é falsa.
Quando
Resposta
(A) Todas são falsas.