Q6: Dizer que \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \cdots, \vec{v}_{n}\right\} é linearmente independente é o mesmo que dizer que:
(A) \vec{v}_{i} não é múltiplo de \vec{v}_{k} se i \neq k.
(B) Se \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0, então \alpha_{1} \vec{v}_{1}+\cdots+\alpha_{n} \vec{v}_{n}=\overrightarrow{0}.
(C) Se \alpha_{1} \vec{v}_{1}+\cdots+\alpha_{n} \vec{v}_{n}=\overrightarrow{0}, então \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0.
(D) Para todo \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{R}, \alpha_{1} \vec{v}_{1}+\cdots+\alpha_{n} \vec{v}_{n}=\overrightarrow{0}.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pergunta qual das alternativas expressa corretamente o fato de que o conjunto \{\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n}\} é linearmente independente. O conteúdo principal aqui é a definição de independência linear em espaços vetoriais, que envolve combinações lineares dos vetores do conjunto.

Passo 2

Por definição, dizemos que \{\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n}\} é linearmente independente se, sempre que uma combinação linear desses vetores resultar no vetor nulo, necessariamente todos os coeficientes dessa combinação são zero. Em notação:
\alpha_{1}\vec{v}_{1} + \cdots + \alpha_{n}\vec{v}_{n} = \overrightarrow{0} \implies \alpha_{1} = \cdots = \alpha_{n} = 0.

Passo 3

Analisando a alternativa (A): ela afirma que nenhum \vec{v}_{i} é múltiplo de outro \vec{v}_{k} se i\neq k. Isso é uma consequência de independência para o caso n=2, mas não caracteriza completamente a independência quando n>2, pois poderia haver dependência envolvendo três ou mais vetores.

Passo 4

Analisando a alternativa (B): ela diz que, se \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0, então a combinação
\alpha_{1}\vec{v}_{1} + \cdots + \alpha_{n}\vec{v}_{n} = \overrightarrow{0}.
Mas essa condição é trivial e vale para qualquer conjunto de vetores, independente de serem ou não independentes.

Passo 5

Analisando a alternativa (C): ela afirma exatamente a definição de independência linear:
\alpha_{1}\vec{v}_{1} + \cdots + \alpha_{n}\vec{v}_{n} = \overrightarrow{0} \implies \alpha_{1} = \cdots = \alpha_{n} = 0.
É portanto a equivalente correta.

Passo 6

Analisando a alternativa (D): ela diz que para todos \alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{R} vale
\alpha_{1}\vec{v}_{1} + \cdots + \alpha_{n}\vec{v}_{n} = \overrightarrow{0}.
Isso seria um conjunto que gera sempre o zero, logo só possível se todos os \vec{v}_{i}=\overrightarrow{0}, e está longe de ser a definição de independência.

Resposta

(C)

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