Q8: Sejam
um conjunto LD e
um conjunto LI. Suponha
uma matriz
tal que:
(A) Pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores do vetor
, mas quando existe solução ela é única.
(B) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(C) Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja
.
(D) Pode-se afirmar que não existe tal
.
(E) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.
(F) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.
(B) Pode-se afirmar que
(C) Pode-se afirmar que
(D) Pode-se afirmar que não existe tal
(E) Pode-se afirmar que
(F) Não se pode afirmar se existe ou não tal
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a alternativa correta:
- Temos
que é um conjunto linearmente dependente (LD). - Temos
que é um conjunto linearmente independente (LI). - Existe uma matriz
de ordem cuja ação sobre os vetores é
As alternativas são (A) a (F) e precisamos dizer qual delas é verdadeira.
Passo 2
Vou relembrar com calma dois conceitos fundamentais (isso é importante para a prova e para entender a ideia):
- Definição de linearmente dependente: dizer que
é LD significa que existem escalares , nem todos zero, tais que
Explico: “nem todos zero” quer dizer que pelo menos um dos
é diferente de zero — então há uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.
- Definição de linearmente independente: dizer que
é LI significa que, se
então necessariamente
. Ou seja, a única combinação linear que dá zero é a trivial.
Passo 3
Outra propriedade que precisamos usar (e que é bem direta): uma matriz
representa uma transformação linear, então ela preserva combinações lineares. Em palavras: para quaisquer escalares
e vetores
,
Isso é só a linearidade da multiplicação matricial — uma ferramenta básica que vamos usar.
Passo 4
Como
é LD, existe uma combinação não trivial
com algum
. Agora aplicamos
aos dois lados e usamos a linearidade (da etapa anterior). O lado esquerdo vira
Pela hipótese dada sobre
, isso é
O lado direito era
. Portanto obtemos
Passo 5
Agora usamos a propriedade dos
: como
é LI, a igualdade
implica que
. Mas isso contradiz o fato de que a combinação original em
era não trivial (ou seja, pelo menos um
era diferente de zero). Temos, portanto, uma contradição lógica.
Passo 6
Dado que assumir a existência de
que satisfaça
leva a uma contradição com as hipóteses (LD dos
e LI dos
), concluímos que tal matriz
não pode existir. Em termos simples: uma transformação linear não pode transformar um conjunto que tem relação linear não trivial em um conjunto que não tem nenhuma relação linear — porque transformar preserva essas relações.
Passo 7
Portanto a afirmação correta entre as alternativas é que "não existe tal
". Isso corresponde à alternativa (D).
Resposta
(D)