Q8: Sejam
um conjunto LD e
um conjunto LI. Suponha
uma matrix
tal que
(A) Podese afirmar que
naio tem soluçāo para certos valores do vetor
, mas quando existe soluçîo ela é única.
(B) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas nảo se pode garantir unicidade.
(C) Pode-se afirmar que
nāo tem solução única, qualquer que seja
.
(D) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.
(E) Pode-se afirmar que naio existe tal
.
(F) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquee
.
(B) Pode-se afirmar que
(C) Pode-se afirmar que
(D) Não se pode afirmar se existe ou não tal
(E) Pode-se afirmar que naio existe tal
(F) Pode-se afirmar que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a afirmação correta:
- Temos
que é um conjunto linearmente dependente (LD). - Temos
que é um conjunto linearmente independente (LI). - Supõe-se a existência de uma matriz
(ou transformação linear) tal que
- As alternativas (A)–(F) descrevem possíveis consequências sobre existência/unicidade/soluções de sistemas envolvendo
. Nossa tarefa é decidir qual alternativa é verdadeira dado o que foi fornecido.
Passo 2
Relembre o que significam LD e LI (explicação didática):
- Definição de linearmente dependente: um conjunto de vetores
é LD se existem escalares , nem todos zero, tais que
Ou seja, há uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo.
- Definição de linearmente independente: um conjunto
é LI se a única combinação linear que dá é a trivial, isto é, se
implica
.
Essas definições são essenciais: LD significa “há relação não trivial”, LI significa “não há relação não trivial”.
Passo 3
Use a linearidade da matriz
(ou da transformação linear): para quaisquer escalares
e vetores, vale
Isto é só a propriedade básica de linearidade:
e
.
Passo 4
Agora aplicamos os passos anteriores para chegar à contradição:
- Como
é LD, existem escalares , nem todos zero, tais que
- Aplicando
a ambos os lados e usando linearidade (Passo 3), obtemos
- Mas pelas hipóteses
, então
- Como
é LI, a única solução para essa combinação é .
Isso contradiz o fato inicial de que os
não são todos zero. Logo a suposição de que existe uma matriz
com
para
leva a uma contradição.
Passo 5
Conclusão didática e comentário extra (para fixar a intuição): uma transformação linear não pode transformar um conjunto linearmente dependente em um conjunto linearmente independente, porque qualquer relação linear entre os vetores do domínio é transportada para uma relação entre as imagens. Outra forma de ver: a dimensão do espaço gerado pelos
não pode ser maior que a dimensão do espaço gerado pelos
sob uma transformação linear. Como aqui o conjunto das imagens teria dimensão 3 (são LI) enquanto o conjunto original tem dimensão menor que 3 (LD), isso é impossível.
Portanto não existe tal matriz
.
Resposta
(E)