Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI. Suponha A uma matrix 3 \times 3 tal que
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}:
(A) Podese afirmar que A \vec{x}=\vec{b} naio tem soluçāo para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe soluçîo ela é única.
(B) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas nảo se pode garantir unicidade.
(C) Pode-se afirmar que A \vec{z}=\vec{b} nāo tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(D) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.
(E) Pode-se afirmar que naio existe tal A.
(F) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\bar{b} tem solução única para qualquee \vec{b}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a afirmação correta:
  • Temos \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é um conjunto linearmente dependente (LD).
  • Temos \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é um conjunto linearmente independente (LI).
  • Supõe-se a existência de uma matriz 3\times3 (ou transformação linear) A tal que
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
  • As alternativas (A)–(F) descrevem possíveis consequências sobre existência/unicidade/soluções de sistemas envolvendo A. Nossa tarefa é decidir qual alternativa é verdadeira dado o que foi fornecido.

Passo 2

Relembre o que significam LD e LI (explicação didática):
  • Definição de linearmente dependente: um conjunto de vetores \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\} é LD se existem escalares c_{1},c_{2},c_{3}, nem todos zero, tais que
c_{1}\vec{x}_{1}+c_{2}\vec{x}_{2}+c_{3}\vec{x}_{3}=\vec{0}.
Ou seja, há uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo.
  • Definição de linearmente independente: um conjunto \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\} é LI se a única combinação linear que dá \vec{0} é a trivial, isto é, se
d_{1}\vec{b}_{1}+d_{2}\vec{b}_{2}+d_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0}
implica d_{1}=d_{2}=d_{3}=0.
Essas definições são essenciais: LD significa “há relação não trivial”, LI significa “não há relação não trivial”.

Passo 3

Use a linearidade da matriz A (ou da transformação linear): para quaisquer escalares c_{1},c_{2},c_{3} e vetores, vale
A\big(c_{1}\vec{x}_{1}+c_{2}\vec{x}_{2}+c_{3}\vec{x}_{3}\big) = c_{1}A\vec{x}_{1}+c_{2}A\vec{x}_{2}+c_{3}A\vec{x}_{3}.
Isto é só a propriedade básica de linearidade: A(u+v)=Au+Av e A(\lambda u)=\lambda Au.

Passo 4

Agora aplicamos os passos anteriores para chegar à contradição:
  • Como \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\} é LD, existem escalares c_{1},c_{2},c_{3}, nem todos zero, tais que
c_{1}\vec{x}_{1}+c_{2}\vec{x}_{2}+c_{3}\vec{x}_{3}=\vec{0}.
  • Aplicando A a ambos os lados e usando linearidade (Passo 3), obtemos
c_{1}A\vec{x}_{1}+c_{2}A\vec{x}_{2}+c_{3}A\vec{x}_{3}=\vec{0}.
  • Mas pelas hipóteses A\vec{x}_{i}=\vec{b}_{i}, então
c_{1}\vec{b}_{1}+c_{2}\vec{b}_{2}+c_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0}.
  • Como \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\} é LI, a única solução para essa combinação é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.
Isso contradiz o fato inicial de que os c_{i} não são todos zero. Logo a suposição de que existe uma matriz A com A\vec{x}_{i}=\vec{b}_{i} para i=1,2,3 leva a uma contradição.

Passo 5

Conclusão didática e comentário extra (para fixar a intuição): uma transformação linear não pode transformar um conjunto linearmente dependente em um conjunto linearmente independente, porque qualquer relação linear entre os vetores do domínio é transportada para uma relação entre as imagens. Outra forma de ver: a dimensão do espaço gerado pelos \vec{b}_{i} não pode ser maior que a dimensão do espaço gerado pelos \vec{x}_{i} sob uma transformação linear. Como aqui o conjunto das imagens teria dimensão 3 (são LI) enquanto o conjunto original tem dimensão menor que 3 (LD), isso é impossível.
Portanto não existe tal matriz A.

Resposta

(E)

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