A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T? (ou seja, \dim(\operatorname{Im}T)).
Informações relevantes dadas: os coeficientes lineares que aparecem nas três componentes de T para as quatro variáveis x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
Passo 2
Plano (explicando o que vamos fazer, de modo didático): a dimensão da imagem de T é igual ao posto (rank) da matriz associada a T. Para construir essa matriz, colocamos os coeficientes das combinações lineares das componentes como linhas (porque T tem 3 componentes), obtendo uma matriz 3\times4. Depois vamos usar eliminação de Gauss para contar o número de linhas linearmente independentes (ou número de pivôs), que é justamente o posto. Vou mostrar cada operação com contas claras para você poder reproduzir na prova.
Passo 3
Escrevendo a matriz A de T (cada linha corresponde a uma das componentes de T):
Aqui cada entrada a_{ij} é o coeficiente da variável x_{j} na i-ésima componente de T.]
Passo 4
Lembra que operações elementares por linhas não mudam o posto da matriz (elas apenas facilitam ver as linhas independentes). Vamos aplicar eliminação para levar A a uma forma escalonada.
Primeira etapa: eliminar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna. Use as operações R_{2}\leftarrow R_{2}+2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}.
Podemos simplificar a última linha multiplicando por -1 para ficar com pivô positivo (isso não muda a independência das linhas): R_{3}\leftarrow -1\cdot R_{3} dá R_{3}=[0,0,1,-1].
Analisando a forma escalonada: há três linhas não nulas e três pivôs (um na coluna 1, outro na coluna 2 e outro na coluna 3). Isso mostra que as três linhas originais são linearmente independentes (ou, equivalentemente, que há três vetores coluna linearmente independentes no espaço imagem). Portanto o posto da matriz A é 3.
Passo 8
Conclusão: a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A, que encontramos ser 3. Como T mapeia para \mathbb{R}^{3}, esse valor faz sentido (o posto máximo seria 3).