Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-2 x_{2}+2 x_{3}-2 x_{4}\right., \left.-2 x_{1}+2 x_{2}-6 x_{3}+5 x_{4}, \quad 2 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}-4 x_{4}\right).
A dimensio da imagem de T é
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}-2x_{2}+2x_{3}-2x_{4},\;-2x_{1}+2x_{2}-6x_{3}+5x_{4},\;2x_{1}-2x_{2}+5x_{3}-4x_{4}\bigr).
A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T? (ou seja, \dim(\operatorname{Im}T)).
Informações relevantes dadas: os coeficientes lineares que aparecem nas três componentes de T para as quatro variáveis x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.

Passo 2

Plano (explicando o que vamos fazer, de modo didático): a dimensão da imagem de T é igual ao posto (rank) da matriz associada a T. Para construir essa matriz, colocamos os coeficientes das combinações lineares das componentes como linhas (porque T tem 3 componentes), obtendo uma matriz 3\times4. Depois vamos usar eliminação de Gauss para contar o número de linhas linearmente independentes (ou número de pivôs), que é justamente o posto. Vou mostrar cada operação com contas claras para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Escrevendo a matriz A de T (cada linha corresponde a uma das componentes de T):
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & -2\\[4pt] -2 & 2 & -6 & 5\\[4pt] 2 & -2 & 5 & -4 \end{pmatrix}.
Aqui cada entrada a_{ij} é o coeficiente da variável x_{j} na i-ésima componente de T.]

Passo 4

Lembra que operações elementares por linhas não mudam o posto da matriz (elas apenas facilitam ver as linhas independentes). Vamos aplicar eliminação para levar A a uma forma escalonada.
Primeira etapa: eliminar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna. Use as operações
R_{2}\leftarrow R_{2}+2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}.
Calculando:
R_{2}+2R_{1} = [-2+2\cdot1,\;2+2\cdot(-2),\;-6+2\cdot2,\;5+2\cdot(-2)] = [0,\;-2,\;-2,\;1].
R_{3}-2R_{1} = [2-2\cdot1,\;-2-2\cdot(-2),\;5-2\cdot2,\;-4-2\cdot(-2)] = [0,\;2,\;1,\;0].
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & -2\\[4pt] 0 & -2 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora vamos eliminar abaixo do pivô da segunda coluna. Podemos somar R_{3} com R_{2} (ou fazer R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}):
Calculando:
R_{3}+R_{2} = [0+0,\;2+(-2),\;1+(-2),\;0+1] = [0,\;0,\;-1,\;1].
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & -2\\[4pt] 0 & -2 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Podemos simplificar a última linha multiplicando por -1 para ficar com pivô positivo (isso não muda a independência das linhas):
R_{3}\leftarrow -1\cdot R_{3} R_{3}=[0,0,1,-1].
Assim temos a forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & -2\\[4pt] 0 & -2 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Analisando a forma escalonada: há três linhas não nulas e três pivôs (um na coluna 1, outro na coluna 2 e outro na coluna 3). Isso mostra que as três linhas originais são linearmente independentes (ou, equivalentemente, que há três vetores coluna linearmente independentes no espaço imagem). Portanto o posto da matriz A é 3.

Passo 8

Conclusão: a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A, que encontramos ser 3. Como T mapeia para \mathbb{R}^{3}, esse valor faz sentido (o posto máximo seria 3).

Resposta

(D) 3

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