Q6: Considere em R^{2} duas transformaçōes lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um angulo de 330 graus e uma reflexáo T através do eixo x. A matrix que regresenta a transformação linear T R é
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformaçõess lineares em \mathbb{R}^2:
  • Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 330^\circ.
  • Uma reflexão T através do eixo x.
Pede-se a matriz que representa a transformação composta TR (isto é, aplicar R e depois aplicar T). As informações relevantes do enunciado são exatamente essas: o ângulo da rotação ( 330^\circ) e o tipo da reflexão (eixo x).

Passo 2

Primeiro precisamos da fórmula padrão da matriz de rotação por um ângulo \theta (sentido anti-horário). A matriz é
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Agora calculamos \cos 330^\circ e \sin 330^\circ. Como 330^\circ = 360^\circ - 30^\circ, vale:
\cos 330^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin 330^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}.]

Passo 3

Substituindo na fórmula da rotação com \theta=330^\circ, cada entrada fica:
\cos 330^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad -\sin 330^\circ = -\Big(-\frac{1}{2}\Big)=\frac{1}{2},
\sin 330^\circ = -\frac{1}{2},\qquad \cos 330^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto a matriz de R é
R = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt] -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 4

A reflexão T através do eixo x envia (x,y)\mapsto(x,-y). A matriz que representa essa transformação é a diagonal
T = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},
pois multiplica (x,y)^\top produzindo (x,-y)^\top.]

Passo 5

A composição TR significa primeiro aplicar R e depois T. Em termos de matrizes, a matriz de TR é o produto matricial T\,R (atenção: a ordem importa em composições lineares).

Passo 6

Agora calculamos T\,R. Multiplicando
T\,R = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt] -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
Calculamos entrada a entrada:
  • Primeira linha, primeira coluna:
1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 0\cdot\Big(-\frac{1}{2}\Big) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Primeira linha, segunda coluna:
1\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}.
  • Segunda linha, primeira coluna:
0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + (-1)\cdot\Big(-\frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}.
  • Segunda linha, segunda coluna:
0\cdot\frac{1}{2} + (-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
Assim
T\,R = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora comparamos com as alternativas dadas: a matriz obtida coincide exatamente com a alternativa (A). Portanto a resposta correta é a opção (A). Vai dar tudo certo na prova — respira e segue praticando!

Resposta

A

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