Q6: Considere em R^{2} duas transformaçōes lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um angulo de 330 graus e uma reflexáo T através do eixo x. A matrix que regresenta a transformação linear T R é
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá duas transformaçõess lineares em \mathbb{R}^2:
Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 330^\circ.
Uma reflexão T através do eixo x.
Pede-se a matriz que representa a transformação composta TR (isto é, aplicar R e depois aplicar T). As informações relevantes do enunciado são exatamente essas: o ângulo da rotação (330^\circ) e o tipo da reflexão (eixo x).
Passo 2
Primeiro precisamos da fórmula padrão da matriz de rotação por um ângulo \theta (sentido anti-horário). A matriz é
R = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt] -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.]
Passo 4
A reflexão T através do eixo x envia (x,y)\mapsto(x,-y). A matriz que representa essa transformação é a diagonal
T = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},
pois multiplica (x,y)^\top produzindo (x,-y)^\top.]
Passo 5
A composição TR significa primeiro aplicar R e depois T. Em termos de matrizes, a matriz de TR é o produto matricial T\,R (atenção: a ordem importa em composições lineares).
Agora comparamos com as alternativas dadas: a matriz obtida coincide exatamente com a alternativa (A). Portanto a resposta correta é a opção (A). Vai dar tudo certo na prova — respira e segue praticando!