Q7: Calcule a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(E) 4
(F) 5
Dor 3

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a dimensão de \operatorname{span}\{\;v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}\;\}, ou seja, o número de vetores linearmente independentes entre os cinco dados (a dimensão do subespaço gerado por eles).
Vetores fornecidos (peguei estes diretamente do enunciado):
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad v_{3}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad v_{4}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad v_{5}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Pergunta explícita: qual é a dimensão do espaço gerado por esses vetores? (Ou seja, quantos deles formam um conjunto linearmente independente máximo.)]

Passo 2

Estratégia e conceitos essenciais (explicação didática curta):
  • A dimensão do span é o posto (rank) do conjunto de vetores: é o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles.
  • Um modo prático em prova: colocar os vetores como colunas de uma matriz e usar eliminação de Gauss (operações de linha) para obter uma forma escalonada. O número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada) é o rank da matriz, logo a dimensão do span.
  • Observação importante: operações de linha não mudam as dependências lineares entre as colunas (o número de colunas linearmente independentes permanece o mesmo).
Vou aplicar eliminação de Gauss às colunas v_{1},\dots,v_{5}.

Passo 3

Formo a matriz com os vetores como colunas (matriz 4\times5):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 2 & -2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix},
onde a j-ésima coluna é v_{j}.]

Passo 4

Aplicando eliminação de Gauss passo a passo (serei explícito nas operações e mostro as matrizes resultantes).
  1. Eliminar abaixo de a_{11} (usar R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}, R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}, R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{1}):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar o -1 em posição (3,2) usando R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Subtrair R_{3} de R_{4} para zerar a linha 4: R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{3}:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Nesse ponto já temos a forma escalonada com pivôs (primeiro elemento não nulo de cada linha não nula) em três colunas distintas: coluna 1, coluna 2 e coluna 3. Não é necessário reduzir totalmente para forma reduzida para contar pivôs.]

Passo 5

Interpretação da forma escalonada:
  • Existem exatamente 3 linhas não nulas (três pivôs) na forma escalonada obtida.
  • Portanto o posto da matriz A é 3.
  • Logo \dim\big(\operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{5}\}\big)=3.
Explicação intuitiva: só há três vetores linearmente independentes entre os cinco; os outros dois podem ser escritos como combinações lineares dos três primeiros. Para ficar mais seguro, pode-se encontrar explicitamente essas combinações (mostro rapidamente):
Soluções para combinar v_{1},v_{2},v_{3} para obter v_{4} e v_{5}:
  • Para v_{4} resolvendo a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}=v_{4} obtém-se b=2, c=0, a=-2. Assim
v_{4}=-2v_{1}+2v_{2}+0\cdot v_{3}.
  • Para v_{5} resolvendo a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}=v_{5} obtém-se b=-1, c=0, a=1. Assim
v_{5}=1\cdot v_{1}-1\cdot v_{2}+0\cdot v_{3}.
Isto confirma que v_{4} e v_{5} são combinações dos três primeiros, portanto o conjunto gera um subespaço de dimensão 3.

Resposta

3

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