O que o enunciado pede: calcular a dimensão de \operatorname{span}\{\;v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}\;\}, ou seja, o número de vetores linearmente independentes entre os cinco dados (a dimensão do subespaço gerado por eles).
Vetores fornecidos (peguei estes diretamente do enunciado):
Pergunta explícita: qual é a dimensão do espaço gerado por esses vetores? (Ou seja, quantos deles formam um conjunto linearmente independente máximo.)]
Passo 2
Estratégia e conceitos essenciais (explicação didática curta):
A dimensão do span é o posto (rank) do conjunto de vetores: é o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles.
Um modo prático em prova: colocar os vetores como colunas de uma matriz e usar eliminação de Gauss (operações de linha) para obter uma forma escalonada. O número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada) é o rank da matriz, logo a dimensão do span.
Observação importante: operações de linha não mudam as dependências lineares entre as colunas (o número de colunas linearmente independentes permanece o mesmo).
Vou aplicar eliminação de Gauss às colunas v_{1},\dots,v_{5}.
Passo 3
Formo a matriz com os vetores como colunas (matriz 4\times5):
Nesse ponto já temos a forma escalonada com pivôs (primeiro elemento não nulo de cada linha não nula) em três colunas distintas: coluna 1, coluna 2 e coluna 3. Não é necessário reduzir totalmente para forma reduzida para contar pivôs.]
Passo 5
Interpretação da forma escalonada:
Existem exatamente 3 linhas não nulas (três pivôs) na forma escalonada obtida.
Portanto o posto da matriz A é 3.
Logo \dim\big(\operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{5}\}\big)=3.
Explicação intuitiva: só há três vetores linearmente independentes entre os cinco; os outros dois podem ser escritos como combinações lineares dos três primeiros. Para ficar mais seguro, pode-se encontrar explicitamente essas combinações (mostro rapidamente):
Soluções para combinar v_{1},v_{2},v_{3} para obter v_{4} e v_{5}:
Para v_{4} resolvendo a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}=v_{4} obtém-se b=2, c=0, a=-2. Assim
v_{4}=-2v_{1}+2v_{2}+0\cdot v_{3}.
Para v_{5} resolvendo a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}=v_{5} obtém-se b=-1, c=0, a=1. Assim
v_{5}=1\cdot v_{1}-1\cdot v_{2}+0\cdot v_{3}.
Isto confirma que v_{4} e v_{5} são combinações dos três primeiros, portanto o conjunto gera um subespaço de dimensão 3.