Q6: A seguinte matriz aumentada representa um sistema linear: \left[\begin{array}{rrr|r}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 5 & 3 & 0 \\\\ 2 & -4 & 0 & k\end{array}\right].
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se k=6, então o sistema tem infinitas soluções.
II. Se k=8, entāo o sistema tem infinitas soluções
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz aumentada do sistema linear cujas incógnitas chamaremos de x,y,z\):
\[\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 5 & 3 & 0 \\\\ 2 & -4 & 0 & k \end{array}\right].
O que o enunciado pergunta, em linguagem clara:
Determinar a veracidade das afirmações:
I. Se k=6, então o sistema tem infinitas soluções.
II. Se k=8, então o sistema tem infinitas soluções.
Informações relevantes dadas:
As linhas da matriz correspondem às equações\begin{cases} x+y+z=1,\\[4pt] 2x+5y+3z=0,\\[4pt] 2x-4y+0\cdot z=k. \end{cases}
A única coisa que varia nas afirmações é o valor do parâmetro (k] (direito da barra).]
Passo 2
Ideia do método (explicação curta e útil): para saber se um sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, usamos eliminação de Gauss (operações elementares nas linhas). Isso permite descobrir o posto (rank) da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada. Regras importantes (em palavras simples):
Se o posto da matriz de coeficientes for igual ao número de incógnitas (3 aqui), o sistema tem solução única.
Se o posto da matriz de coeficientes for menor que 3 e igual ao posto da matriz aumentada, o sistema tem infinitas soluções (há variáveis livres).
Se o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz de coeficientes, o sistema é incompatível (sem solução).
Agora aplicamos eliminação de Gauss passo a passo nas linhas da matriz aumentada.
Interpretação do resultado da eliminação (a parte conceitual que você deve saber para a prova):
A terceira linha agora diz, em forma algébrica,0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = k-6,ou simplesmente 0 = k-6.
Se k-6 \neq 0 (isto é, k\neq 6), então temos uma contradição 0 = número não nulo. Isso significa que o sistema é incompatível (não tem solução).
Se k-6 = 0 (isto é, k=6), então a terceira linha fica 0=0, que é verdadeira e não impõe restrição extra — o sistema é compatível, mas como a matriz de coeficientes tem posto menor que 3 (veja abaixo), há variáveis livres e, portanto, infinitas soluções.
Explicando o porquê do posto ser menor que 3: durante a eliminação tivemos apenas dois pivôs independentes (primeira e segunda linhas), a terceira linha ficou toda zero. Isso indica que a matriz dos coeficientes tem posto 2<3. Como para k=6 a matriz aumentada tem também posto 2, os postos coincidem e são menores que o número de incógnitas, logo existem infinitas soluções.
Passo 6
Opcional (mostrando a solução parametrizada quando k=6\), para ver concretamente as infinitas soluções):
- Para \(k=6\), a matriz reduzida é
\[\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Traduzindo as duas equações não-nulas:\begin{cases} x + y + z = 1,\\[4pt] 3y + z = -2. \end{cases}
Isolamos z\] da segunda equação:
\[z = -2 - 3y.\]
- Substituímos na primeira:
\[x + y + (-2 - 3y) = 1 \quad\Rightarrow\quad x -2y -2 = 1.\]
Assim
\[x = 3 + 2y.\]
- Tomando \(y como parâmetro livre, digamos y=t, obtemos a solução paramétrica:\begin{cases} x = 3 + 2t,\\[4pt] y = t,\\[4pt] z = -2 - 3t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R},
o que demonstra explicitamente que há infinitas soluções (uma família linear em um parâmetro).]
Passo 7
Conclusão lógica sobre as afirmativas:
I. Para k=6 o sistema é compatível com posto 2<3, logo tem infinitas soluções — afirmativa I é verdadeira.
II. Para k=8 temos k-6=2\neq 0, a linha final é 0=2, contradição, portanto o sistema não tem solução — afirmativa II é falsa.