Q6: A seguinte matriz aumentada representa um sistema linear:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 5 & 3 & 0 \\\\ 2 & -4 & 0 & k\end{array}\right].
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se k=6, então o sistema tem infinitas soluções.
II. Se k=8, entāo o sistema tem infinitas soluções
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada do sistema linear cujas incógnitas chamaremos de x,y,z\): \[\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 5 & 3 & 0 \\\\ 2 & -4 & 0 & k \end{array}\right].
O que o enunciado pergunta, em linguagem clara:
  • Determinar a veracidade das afirmações:
    I. Se k=6, então o sistema tem infinitas soluções.
    II. Se k=8, então o sistema tem infinitas soluções.
    Informações relevantes dadas:
  • As linhas da matriz correspondem às equações \begin{cases} x+y+z=1,\\[4pt] 2x+5y+3z=0,\\[4pt] 2x-4y+0\cdot z=k. \end{cases}
  • A única coisa que varia nas afirmações é o valor do parâmetro (k] (direito da barra).]

Passo 2

Ideia do método (explicação curta e útil): para saber se um sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, usamos eliminação de Gauss (operações elementares nas linhas). Isso permite descobrir o posto (rank) da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada. Regras importantes (em palavras simples):
  • Se o posto da matriz de coeficientes for igual ao número de incógnitas ( 3 aqui), o sistema tem solução única.
  • Se o posto da matriz de coeficientes for menor que 3 e igual ao posto da matriz aumentada, o sistema tem infinitas soluções (há variáveis livres).
  • Se o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz de coeficientes, o sistema é incompatível (sem solução).
    Agora aplicamos eliminação de Gauss passo a passo nas linhas da matriz aumentada.

Passo 3

Começamos com as linhas (chamo de L_1,L_2,L_3):
L_1: \;[1\\\ 1\\\ 1\mid 1],\qquad L_2: \;[2\\\ 5\\\ 3\mid 0],\qquad L_3: \;[2\\\ -4\\\ 0\mid k].
Eliminação da coluna x (usamos L_1 como pivô):
  • Substituir L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1: L_2: [2-2\cdot1,\\\ 5-2\cdot1,\\\ 3-2\cdot1 \mid 0-2\cdot1] = [0,\\\ 3,\\\ 1 \mid -2].
  • Substituir L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1: L_3: [2-2\cdot1,\\\ -4-2\cdot1,\\\ 0-2\cdot1 \mid k-2\cdot1] = [0,\\\ -6,\\\ -2 \mid k-2].
Agora a matriz está
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -6 & -2 & k-2 \end{array}\right].]

Passo 4

Continuamos eliminando usando L_2 como pivô na segunda coluna:
  • Observamos que L_3 tem -6 na segunda coluna. Podemos anular esse elemento somando 2 vezes L_2 a L_3: L_3 \leftarrow L_3 + 2L_2.
Calculemos componente a componente:
  • Segunda coluna: -6 + 2\cdot 3 = -6 + 6 = 0.
  • Terceira coluna: -2 + 2\cdot 1 = -2 + 2 = 0.
  • Lado direito: (k-2) + 2\cdot(-2) = k-2 -4 = k-6.
    Logo L_3 fica [0\\\ 0\\\ 0 \mid k-6]. A matriz reduzida é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & k-6 \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação do resultado da eliminação (a parte conceitual que você deve saber para a prova):
  • A terceira linha agora diz, em forma algébrica, 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = k-6,ou simplesmente 0 = k-6.
  • Se k-6 \neq 0 (isto é, k\neq 6), então temos uma contradição 0 = número não nulo. Isso significa que o sistema é incompatível (não tem solução).
  • Se k-6 = 0 (isto é, k=6), então a terceira linha fica 0=0, que é verdadeira e não impõe restrição extra — o sistema é compatível, mas como a matriz de coeficientes tem posto menor que 3 (veja abaixo), há variáveis livres e, portanto, infinitas soluções.
Explicando o porquê do posto ser menor que 3: durante a eliminação tivemos apenas dois pivôs independentes (primeira e segunda linhas), a terceira linha ficou toda zero. Isso indica que a matriz dos coeficientes tem posto 2<3. Como para k=6 a matriz aumentada tem também posto 2, os postos coincidem e são menores que o número de incógnitas, logo existem infinitas soluções.

Passo 6

Opcional (mostrando a solução parametrizada quando k=6\), para ver concretamente as infinitas soluções): - Para \(k=6\), a matriz reduzida é \[\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
  • Traduzindo as duas equações não-nulas: \begin{cases} x + y + z = 1,\\[4pt] 3y + z = -2. \end{cases}
  • Isolamos z\] da segunda equação: \[z = -2 - 3y.\] - Substituímos na primeira: \[x + y + (-2 - 3y) = 1 \quad\Rightarrow\quad x -2y -2 = 1.\] Assim \[x = 3 + 2y.\] - Tomando \(y como parâmetro livre, digamos y=t, obtemos a solução paramétrica: \begin{cases} x = 3 + 2t,\\[4pt] y = t,\\[4pt] z = -2 - 3t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R},
o que demonstra explicitamente que há infinitas soluções (uma família linear em um parâmetro).]

Passo 7

Conclusão lógica sobre as afirmativas:
  • I. Para k=6 o sistema é compatível com posto 2<3, logo tem infinitas soluções — afirmativa I é verdadeira.
  • II. Para k=8 temos k-6=2\neq 0, a linha final é 0=2, contradição, portanto o sistema não tem solução — afirmativa II é falsa.

Resposta

(B) Só I é verdadeira.

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