Q|C (a) Encontre o número de mols em um metro cúbico de um gás ideal a 20,0^{\circ} \mathrm{C} e pressão atmosférica. (b) Para o ar, o número de moléculas de Avogadro tem massa 28,9 \mathrm{~g}. Calcule a massa de um metro cúbico de ar. (c) Diga como esse resultado se compara com a densidade do ar tabulada a 20,0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) O número de mols contidos em 1\\ \mathrm{m^3} de um gás ideal às condições 20,0^\circ\mathrm{C} e pressão atmosférica.
  2. (b) Sabendo que a massa molar média do ar (uma “molécula de Avogadro” do ar) é 28,9\\ \mathrm{g} por mol, calcular a massa de 1\\ \mathrm{m^3} de ar nessas condições.
  3. (c) Comparar o resultado obtido com a densidade tabulada do ar a 20,0^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas e que usaremos diretamente:
\text{Temperatura do gás: }20,0^\circ\mathrm{C}á
\text{Pressão: pressão atmosférica } \;P=1\\ \text{atm (usaremos }P=101325\\ \mathrm{Pa})ããé
\text{Massa molar do ar: }M = 28{,}9\\ \mathrm{g/mol}

Passo 2

Primeira coisa prática: converter a temperatura para Kelvin porque as leis dos gases usam a escala absoluta.
T = 20{,}0^\circ\mathrm{C} = 20{,}0 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
Também vamos usar a constante universal dos gases na forma:
R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Explicação curta: R é a constante que relaciona pressão, volume, número de mols e temperatura na lei dos gases ideais — ela tem unidades que combinam com Pascal, metro cúbico, mol e Kelvin.

Passo 3

Apresento a lei dos gases ideais e explico as variáveis:
PV = nRT,
onde
  • P é a pressão do gás (em \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m^3}),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Queremos o número de mols por volume (mols em 1\\ \mathrm{m^3}), ou seja \dfrac{n}{V}. Isolando \dfrac{n}{V} na fórmula:
\frac{n}{V}=\frac{P}{RT}.
Explicação: isso vem de dividir ambos os lados de PV=nRT por V e por R T. A unidade resultante será \mathrm{mol\cdot m^{-3}}, que é justamente mols por metro cúbico.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos para obter o número de mols por metro cúbico. Primeiro calculemos o produto R T:
RT = 8{,}314462618\cdot 293{,}15 \approx 2437{,}38\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Agora:
\frac{n}{V}=\frac{P}{RT}=\frac{101325}{2437{,}38}\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}} \approx 41{,}57\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}.
Comentário sobre o cálculo: fiz a divisão direta e arredondei o resultado à sua precisão razoável; você pode também lembrar que a densidade molar a 0^\circ\mathrm{C} é cerca de 44{,}6\\ \mathrm{mol/m^3} e então ajustar pela razão 273{,}15/293{,}15, obtendo resultado semelhante.

Passo 5

Para achar a massa de 1\\ \mathrm{m^3} de ar usamos a relação entre número de mols, massa molar e massa:
\text{massa} = \left(\frac{n}{V}\right)\cdot M,
onde M é a massa molar em \mathrm{kg/mol}. Temos M=28{,}9\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0289\\ \mathrm{kg/mol}. Explicação: multiplicamos quantos mols existem por quantos kg tem cada mol, obtendo kg por metro cúbico.

Passo 6

Substituindo:
\text{massa por }1\\ \mathrm{m^3} = 41{,}57\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}\times 0{,}0289\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}
\approx 1{,}2014\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
Arredondando de forma prática: 1{,}201\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 7

Agora fazemos a comparação com o valor tabulado. O valor tabulado típico da densidade do ar a 20{,}0^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm} é cerca de
\rho_{\text{tab}} \approx 1{,}2041\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
A diferença absoluta é
\Delta = 1{,}2041 - 1{,}2014 = 0{,}0027\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}},
e a diferença relativa (percentual) é
\frac{\Delta}{\rho_{\text{tab}}}\times 100\% \approx 0{,}22\%.

Passo 8

Interpretação didática e motivo da concordância: a concordância é excelente (diferença \sim 0{,}2\%). Pequenas discrepâncias vêm de arredondamentos (valor de R, massa molar média do ar usada), e do fato de que “ar” é uma mistura (principalmente N_2 e O_2) cuja composição exata varia com umidade e outros fatores. Mas para efeitos práticos, o cálculo pelo gás ideal com M=28{,}9\\ \mathrm{g/mol} dá resultado muito próximo do tabulado.

Resposta

(a) \;41{,}57\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}
(b) \;1{,}2014\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}
(c) Valor tabulado \approx 1{,}2041\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}; diferença relativa \approx 0{,}22\% (nosso resultado é muito próximo do tabulado).

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