Que massa de água a 25,0^{\circ} \mathrm{C} deve poder atingir equilibrio térmico com um cubo de alumínio de 1,85 \mathrm{~kg} inicialmente a 150^{\circ} \mathrm{C} para baixar a temperatura do alumínio para 65.0^{\circ} \mathrm{C} ? Suponha que a água transformada em vapor condense subsequentemente.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a massa de água necessária para que, ao atingir equilíbrio térmico com um cubo de alumínio, a temperatura do alumínio diminua de 150{,}0^\circ\mathrm{C} para 65{,}0^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (listei todos explicitamente):
m_{\text{Al}}=1{,}85\\ \mathrm{kg}
T_{\text{Al, inicial}}=150{,}0^\circ\mathrm{C}
T_{\text{Al, final}}=65{,}0^\circ\mathrm{C}
T_{\text{água, inicial}}=25{,}0^\circ\mathrm{C}á
Condição extra do enunciado: “Suponha que a água transformada em vapor condense subsequentemente.” (vamos tratar isso ao final, quando avaliarmos se ocorre vaporização).

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
Quando dois corpos trocam calor e alcançam equilíbrio térmico, o calor perdido por um corpo é igual ao calor ganho pelo outro (se não houver perda de calor para o ambiente). Isso é conservação de energia térmica num sistema isolado.
A fórmula básica para calor sensível (quando a substância não muda de fase) é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é a quantidade de calor (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa (em \mathrm{kg});
  • c é o calor específico da substância (em \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em kelvin ou graus Celsius, já que a diferença é igual em ambas unidades).
Valores usualmente aceitos (vou usar estes números, que são padrão em exercícios):
c_{\text{Al}}=900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
c_{\text{água}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á
Explicação sobre vaporização: se água mudar de líquido para vapor, usa-se calor latente de vaporização L_v (aprox. 2{,}26\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}). O calor absorvido para vaporizar uma massa m_v é Q_{\text{vap}}=m_v\,L_v. Mas esse termo só entra se efetivamente parte da água ficar em vapor no equilíbrio ou se durante o processo houver vaporização irreversível (isto é, vapor que sai do sistema). O enunciado diz que o vapor que se forme condensa depois — vamos verificar se, para alcançar 65{,}0^\circ\mathrm{C}, qualquer água teria que chegar a 100^\circ\mathrm{C} (condição para vaporizar). Se não chegar a 100^\circ\mathrm{C}, não precisamos aplicar calor latente.

Passo 3

Calcular o calor que o alumínio perde ao esfriar de 150{,}0^\circ\mathrm{C} para 65{,}0^\circ\mathrm{C}.
A variação de temperatura do alumínio é
\Delta T_{\text{Al}} = T_{\text{Al, inicial}} - T_{\text{Al, final}} = 150{,}0^\circ\mathrm{C} - 65{,}0^\circ\mathrm{C} = 85{,}0\\ \mathrm{K}.
O calor perdido pelo alumínio (magnitude) é
Q_{\text{Al}} = m_{\text{Al}}\,c_{\text{Al}}\,\Delta T_{\text{Al}}.
Substituindo números (mostro em passos):
c_{\text{Al}}\,\Delta T_{\text{Al}} = 900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \times 85{,}0\\ \mathrm{K} = 76\,500\\ \mathrm{J/kg}.
Então
Q_{\text{Al}} = 1{,}85\\ \mathrm{kg}\times 76\,500\\ \mathrm{J/kg} = 141\,525\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o alumínio libera 141\,525\\ \mathrm{J} de calor ao esfriar até 65{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular o calor que a água absorve para aquecer de 25{,}0^\circ\mathrm{C} até 65{,}0^\circ\mathrm{C}.
A variação de temperatura da água é
\Delta T_{\text{água}} = T_{\text{final}} - T_{\text{água, inicial}} = 65{,}0^\circ\mathrm{C} - 25{,}0^\circ\mathrm{C} = 40{,}0\\ \mathrm{K}.áá
O calor absorvido pela água (se não houver mudança de fase) é
Q_{\text{água}} = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,\Delta T_{\text{água}}.áááá
Como estamos em equilíbrio térmico e assumindo sistema isolado (o calor perdido pelo alumínio é ganho pela água, descontando possíveis mudanças de fase), impomos
Q_{\text{Al}} = Q_{\text{água}}.á
Substituindo:
141\,525\\ \mathrm{J} = m_{\text{água}}\times 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\times 40{,}0\\ \mathrm{K}.á

Passo 5

Resolver para m_{\text{água}}á. Primeiro calcule o denominador numérico:
4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \times 40{,}0\\ \mathrm{K} = 167\,440\\ \mathrm{J/kg}.
Então
m_{\text{água}} = \frac{141\,525\\ \mathrm{J}}{167\,440\\ \mathrm{J/kg}}.á
Faço a divisão passo a passo (mostrando como fazer sem calculadora: mas aqui apresento o resultado numérico):
m_{\text{água}} \approx 0{,}846\\ \mathrm{kg}.á

Passo 6

Verificação quanto à vaporização (para justificar a hipótese sobre condensação):
  • A temperatura final desejada 65{,}0^\circ\mathrm{C} é menor que 100^\circ\mathrm{C}, portanto, em equilíbrio não haverá água residual em forma de vapor a 65^\circ\mathrm{C}.
  • Isso significa que não é necessário incluir calor latente no balanço final: nenhuma massa de água permanece em vapor no equilíbrio. Se, durante o processo, alguma pequena quantidade de água tivesse vaporizado temporariamente, o enunciado pede que consideremos que esse vapor condense depois — portanto qualquer calor tomado para vaporizar seria devolvido por condensação, e o balanço global permanece o utilizado acima.
  • Conclusão: o cálculo feito com apenas calor sensível é consistente.

Resposta

0{,}846\\ \mathrm{kg}

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