( \qquad /6pts) Seja A a matriz de ordem 4 a seguir
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 5 & -1 \\\\ -1 & 4 & 2 & 0 \\\\ -3 & 0 & 1 & 2 \\\\ -1 & -1 & 2 & 3 \end{array}\right]
(a) Obtenha o determinante de A usando a expansão por cofatores.
(b) Sobre o sistema A X=0, o que podemos dizer sobre o número de soluções?
(c) Seja C uma matriz de ordem 4 obtida a partir de A após as seguintes operações elementares:
  • troca da linha L_{1} pela linha L_{4};
  • multíplicação da linha L_{2} por -\frac{1}{3};
  • substituição da linha L_{3} por L_{3}-5 L_{1};
Calcule \operatorname{det}\left(3 C^{t}\left(C^{-1}\right)^{3}\right).

Passo 1

O enunciado trata de determinantes, sistemas lineares e operações elementares em matrizes.
Para (a) vamos usar a expansão por cofatores para calcular \det(A).
Para (b) aplicamos o fato de que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é não nulo.
Para (c) usamos as regras de como cada operação elementar afeta o determinante e as propriedades
\det(C^t)=\det\text{(C)},\quad \det(C^{-1})=\frac1{\det\text{(C)}},\quad\det(kM)=k^n\det(M)\\ (\text{matriz }n\times n).

Passo 2

Vamos expandir \det(A) pela primeira linha:
\det(A)=\sum_{j=1}^{4}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(M_{1j}).
Para cada j:
Para j=1, a_{11}=1 e
M_{11}=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\quad \det(M_{11}) =4(1\cdot3-2\cdot2)-2(0\cdot3-2\cdot(-1))=-8.
Termo: +1\cdot(-8)=-8. Para j=2, a_{12}=3 e
M_{12}=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0\\\\ -3 & 1 & 2\\\\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\quad \det(M_{12}) =-1(1\cdot3-2\cdot2)-2(-3\cdot3-2\cdot(-1))=15.
Termo: -3\cdot15=-45. Para j=3, a_{13}=5 e
M_{13}=\begin{pmatrix} -1 & 4 & 0\\\\ -3 & 0 & 2\\\\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix},\quad \det(M_{13}) =-1(0\cdot3-2\cdot(-1))-4(-3\cdot3-2\cdot(-1))=26.
Termo: +5\cdot26=130. Para j=4, a_{14}=-1 e
M_{14}=\begin{pmatrix} -1 & 4 & 2\\\\ -3 & 0 & 1\\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix},\quad \det(M_{14}) =-1(0\cdot2-1\cdot(-1))-4(-3\cdot2-1\cdot(-1))+2(-3\cdot(-1)-0\cdot(-1))=25.
Termo: -(-1)\cdot25=+25. Somando os quatro termos vem
\det(A)=-8-45+130+25=102.

Passo 3

Como \det(A)=102\neq0, a matriz A é invertível.
No sistema homogêneo AX=0 isso implica que a única solução é a solução trivial X=0.

Passo 4

Cada operação em A altera o determinante de A assim:
  • troca de duas linhas multiplica por -1,
  • multiplicar uma linha por -\tfrac13 multiplica por -\tfrac13,
  • somar múltiplo de uma linha em outra não muda o determinante.
Logo, ao produzir C a partir de A:
\det\text{(C)}=(-1)\times\Bigl(-\tfrac13\Bigr)\times1\;\det(A) =\tfrac13\cdot102=34.

Passo 5

Queremos
\det\bigl(3\,C^t\,(C^{-1})^3\bigr).
Usando \det(3M)=3^4\det(M) para matriz 4\times4, \det(C^t)=\det\text{(C)} e \det(C^{-1})^3=[\det(C^{-1})]^3=1/\det\text{(C)}^3, obtemos
\det\bigl(3\,C^t\,(C^{-1})^3\bigr) =3^4\;\det\text{(C)}\;\frac1{\det\text{(C)}^3} =\frac{81}{\det\text{(C)}^2} =\frac{81}{34^2} =\frac{81}{1156}.

Resposta

(a) \det(A)=102
(b) Só a solução trivial X=0
(c) \displaystyle \det\bigl(3\,C^t\,(C^{-1})^3\bigr)=\frac{81}{1156}

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