( \qquad /8pts) Considere o sistema linear a seguir
\left\{\begin{array}{l} a x+3 y+z=1 \\\\ -x+a z=1 \\\\ 2 x+z=1 \end{array}\right.
(a) Escreva o sistema na forma matricial A X=B.
(b) Para quais valores de a o sistema possui solução única? Qual a solução para a=0 ?
(c) Escreva a matriz dos coeficientes A substituindo a por -1 e calcule A^{-1}.
(d) Qual a solução do sistema A X=B, \operatorname{com} A sendo a matriz obtida fazendo a=-1 ?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema linear de três equações e três incógnitas com parâmetro a. Vamos usar conceitos de álgebra linear: escrever o sistema na forma matricial \,A X=B, calcular o determinante de A para verificar existência de solução única, inverter A quando possível e, por fim, obter a solução X=A^{-1}B em casos específicos de a.

Passo 2

Para escrever o sistema
\begin{cases} a x + 3y + z = 1,\\\\ -\,x + a\,z = 1,\\\\ 2x + z = 1, \end{cases}
na forma matricial A X = B, defina
X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
e a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} a & 3 & 1\\\\ -1 & 0 & a\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

O sistema tem solução única se, e somente se, \det(A)\neq 0\). Calcule \[\det(A) = \begin{vmatrix} a & 3 & 1\\\\ -1 & 0 & a\\\\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = a\,(0\cdot1 - a\cdot0) -3\,\bigl((-1)\cdot1 - a\cdot2\bigr) +1\,\bigl((-1)\cdot0 - 0\cdot2\bigr) = 3 +6a.
Logo, há solução única sempre que
3 +6a \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a \neq -\tfrac12.
Para a=0, o sistema fica
\begin{cases} 3y + z =1,\\\\ -\,x =1,\\\\ 2x + z =1, \end{cases}
da segunda equação vem x=-1\]. Substituindo em \(2x+z=1 z=3, e então de 3y+z=1 obtemos 3y+3=1\Rightarrow y=-\tfrac23.

Passo 4

Para a=-1 a matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1\\\\ -1 & 0 & -1\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é \det(A)=3+6(-1)=-3\neq0, então A é invertível. Calculando a matriz dos cofatores e transpondo, chega-se a
A^{-1} = -\tfrac13 \begin{pmatrix} 0 & -3 & -3\\\\ -1 & -3 & 6\\\\ -3 & -2 & 3 \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\[6pt] \tfrac13 & 1 & \tfrac23\\[4pt] 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Com A^{-1} e B=(1,1,1)^T, a solução é
X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\ \tfrac13 & 1 & \tfrac23\\\\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\[4pt] 2\\[2pt] -3 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a)
A = \begin{pmatrix} a & 3 & 1\\\\ -1 & 0 & a\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
(b) Solução única se a\neq -\tfrac12. Para a=0,
(x,y,z)=\bigl(-1,\,-\tfrac23,\,3\bigr).
(c) Para a=-1,
A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1\\\\ -1 & 0 & -1\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\ \tfrac13 & 1 & \tfrac23\\\\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
(d) Nesse caso, a solução é
(x,y,z) = (2,\,2,\,-3).

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