(a) Escreva o sistema na forma matricial A X=B.
(b) Para quais valores de a o sistema possui solução única? Qual a solução para a=0 ?
(c) Escreva a matriz dos coeficientes A substituindo a por -1 e calcule A^{-1}.
(d) Qual a solução do sistema A X=B, \operatorname{com} A sendo a matriz obtida fazendo a=-1 ?
Passo 1
O enunciado trata de um sistema linear de três equações e três incógnitas com parâmetro a. Vamos usar conceitos de álgebra linear: escrever o sistema na forma matricial \,A X=B, calcular o determinante de A para verificar existência de solução única, inverter A quando possível e, por fim, obter a solução X=A^{-1}B em casos específicos de a.
Passo 2
Para escrever o sistema
\begin{cases} a x + 3y + z = 1,\\\\ -\,x + a\,z = 1,\\\\ 2x + z = 1, \end{cases}
na forma matricial A X = B, defina
X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
e a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} a & 3 & 1\\\\ -1 & 0 & a\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Passo 3
O sistema tem solução única se, e somente se, \det(A)\neq 0\). Calcule
\[\det(A) = \begin{vmatrix} a & 3 & 1\\\\ -1 & 0 & a\\\\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = a\,(0\cdot1 - a\cdot0) -3\,\bigl((-1)\cdot1 - a\cdot2\bigr) +1\,\bigl((-1)\cdot0 - 0\cdot2\bigr) = 3 +6a.
Logo, há solução única sempre que
3 +6a \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a \neq -\tfrac12.
Para a=0, o sistema fica
\begin{cases} 3y + z =1,\\\\ -\,x =1,\\\\ 2x + z =1, \end{cases}
da segunda equação vem x=-1\]. Substituindo em \(2x+z=1 dá z=3, e então de 3y+z=1 obtemos 3y+3=1\Rightarrow y=-\tfrac23.