( \qquad /6pts) Sejam A_{3 \times 2} e B_{2 \times 3} matrizes reais cujos termos são determinados pelas sentenças
a_{i j}=\left\{\begin{array}{l} -3 i+j, \text { se } i \geq j \\\ i^{j}-1, \text { caso contrário } \end{array} \quad b_{i j}=\left\{\begin{array}{l} i-2 j, \text { se } i<j \\\ (i \cdot j)^{2}, \text { caso contrário } \end{array}\right.\right.áá
Faça o que se pede:
(a) Escreva as matrizes A e B.
(b) É possivel calcular A+B, A+5 B^{t}, A^{t}-B e 2 A^{t}-5 B^{t} ? Os que forem possiveis, obtenha-os. Os que não forem, justifique o motivo.
(c) Por que podemos calcular A B e B A ? Obtenha-os.

Passo 1

O enunciado define duas matrizes reais A\in\mathbb{R}^{3\times2} e B\in\mathbb{R}^{2\times3} cujos elementos são dados por fórmulas de índice. Precisamos:
  1. Montar explicitamente A e B.
  2. Verificar quais somas e diferenças entre A, B e suas transpostas são possíveis (dimensões iguais) e calcular as que forem.
  3. Justificar por que os produtos AB e BA podem ser feitos (número de colunas da primeira igual ao número de linhas da segunda) e computá-los.

Passo 2

Vamos montar A=(a_{ij})_{3\times2}. Para cada i=1,2,3 e j=1,2:
  • Se i\ge j, então a_{ij}=-3\,i+j.
  • Se i<j, então a_{ij}=i^j-1.
Cálculo:
a_{11}=-3\cdot1+1=-2,\quad a_{12}=1<2\implies1^2-1=0,
a_{21}=-3\cdot2+1=-5,\quad a_{22}=-3\cdot2+2=-4,
a_{31}=-3\cdot3+1=-8,\quad a_{32}=-3\cdot3+2=-7.
Logo,
A = \begin{pmatrix} -2 & 0\\\\ -5 & -4\\\\ -8 & -7 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora B=(b_{ij})_{2\times3}. Para cada i=1,2 e j=1,2,3:
  • Se i<j, então b_{ij}=i-2\,j.
  • Caso contrário, b_{ij}=(i\cdot j)^2.
Cálculo:
b_{11}=(1\cdot1)^2=1,\quad b_{12}=1<2\implies1-4=-3,\quad b_{13}=1<3\implies1-6=-5,
b_{21}=(2\cdot1)^2=4,\quad b_{22}=(2\cdot2)^2=16,\quad b_{23}=2<3\implies2-6=-4.
Portanto,
B = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -5\\\\ 4 & 16 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para somas e diferenças só são válidas quando as duas matrizes têm a mesma dimensão.
  • A+B: não dá, pois A é 3\times2 e B é 2\times3.
  • A+5B^t: B^t é 3\times2, mesma dimensão de A. B^t=\begin{pmatrix}1&4\\\ -3&16\\\ -5&-4\end{pmatrix}, \quad 5B^t=\begin{pmatrix}5&20\\\ -15&80\\\ -25&-20\end{pmatrix},
A+5B^t=\begin{pmatrix} -2+5 & 0+20\\\\ -5-15 & -4+80\\\\ -8-25 & -7-20 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 & 20\\\\ -20 & 76\\\\ -33 & -27 \end{pmatrix}.
  • A^t-B: A^t é 2\times3 e B também. A^t=\begin{pmatrix}-2&-5&-8\\\ 0&-4&-7\end{pmatrix}, \quad A^t-B=\begin{pmatrix} -2-1 & -5-(-3) & -8-(-5)\\\\ 0-4 & -4-16 & -7-(-4) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -3 & -2 & -3\\\\ -4 & -20 & -3 \end{pmatrix}.
  • 2A^t-5B^t: não dá, pois 2A^t é 2\times3 e 5B^t é 3\times2.

Passo 5

Para multiplicar, o número de colunas da primeira deve igualar o número de linhas da segunda:
  • AB: A é 3\times2 e B é 2\times3, dá uma 3\times3.
  • BA: B é 2\times3 e A é 3\times2, dá uma 2\times2.
Cálculo de AB:
AB=\begin{pmatrix}-2&0\\\ -5&-4\\\ -8&-7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-3&-5\\\ 4&16&-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2\cdot1+0\cdot4 & -2\cdot(-3)+0\cdot16 & -2\cdot(-5)+0\cdot(-4)\\\\ -5\cdot1+(-4)\cdot4 & -5\cdot(-3)+(-4)\cdot16 & -5\cdot(-5)+(-4)\cdot(-4)\\\\ -8\cdot1+(-7)\cdot4 & -8\cdot(-3)+(-7)\cdot16 & -8\cdot(-5)+(-7)\cdot(-4) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 & 6 & 10\\\\ -21 & -49 & 41\\\\ -36 & -88 & 68 \end{pmatrix}.
Cálculo de BA:
BA=\begin{pmatrix}1&-3&-5\\\ 4&16&-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2&0\\\ -5&-4\\\ -8&-7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot(-2)+(-3)\cdot(-5)+(-5)\cdot(-8) & 1\cdot0+(-3)\cdot(-4)+(-5)\cdot(-7)\\\\ 4\cdot(-2)+16\cdot(-5)+(-4)\cdot(-8) & 4\cdot0+16\cdot(-4)+(-4)\cdot(-7) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 53 & 47\\\\ -56 & -36 \end{pmatrix}.

Resposta

(a)
A=\begin{pmatrix} -2 & 0\\\\ -5 & -4\\\\ -8 & -7 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -5\\\\ 4 & 16 & -4 \end{pmatrix}.
(b)
A+B e 2A^t-5B^t não são possíveis por dimensões diferentes.
A+5B^t=\begin{pmatrix} 3 & 20\\\\ -20 & 76\\\\ -33 & -27 \end{pmatrix}, \quad A^t-B=\begin{pmatrix} -3 & -2 & -3\\\\ -4 & -20 & -3 \end{pmatrix}.
(c)
Podemos multiplicar porque A é 3\times2, B é 2\times3 (e vice-versa).
AB=\begin{pmatrix} -2 & 6 & 10\\\\ -21 & -49 & 41\\\\ -36 & -88 & 68 \end{pmatrix}, \quad BA=\begin{pmatrix} 53 & 47\\\\ -56 & -36 \end{pmatrix}.

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