\quad Dadas \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 2 \\\\ 0 & 1 & -2 \\\\ 1 & 1 / 2 & 3\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\\\ 0 & -2 & 1 \\\\ -1 & 0 & 2\end{array}\right] Verifique se \mathrm{AB}=\mathrm{BA}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 3\times3:
A=\begin{pmatrix}4 & -1 & 2 \\[4pt] 0 & 1 & -2 \\[4pt] 1 & \dfrac{1}{2} & 3\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & -2 & 1 \\[4pt] -1 & 0 & 2\end{pmatrix}.
A pergunta é: verificar se AB=BA. Ou seja, calcular AB e BA e comparar as entradas.]

Passo 2

Regra de multiplicação: se A e B são 3\times3, então cada entrada (AB)_{ij} é dada por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}B_{kj}.
Isto significa: para obter a entrada na linha i e coluna j de AB, faz-se o produto escalar da linha i de A com a coluna j de B. Vou aplicar isso linha a linha e coluna a coluna, mostrando as contas.

Passo 3

Cálculo de AB.
Linha 1 de A é (4,\,-1,\,2).
  • Entrada (AB)_{11}: 4\cdot1 + (-1)\cdot0 + 2\cdot(-1) = 4 + 0 - 2 = 2.
  • Entrada (AB)_{12}: 4\cdot1 + (-1)\cdot(-2) + 2\cdot0 = 4 + 2 + 0 = 6.
  • Entrada (AB)_{13}: 4\cdot(-2) + (-1)\cdot1 + 2\cdot2 = -8 -1 +4 = -5.
Portanto a primeira linha de AB é (2,\,6,\,-5).
Linha 2 de A é (0,\,1,\,-2).
  • Entrada (AB)_{21}: 0\cdot1 + 1\cdot0 + (-2)\cdot(-1) = 0 + 0 + 2 = 2.
  • Entrada (AB)_{22}: 0\cdot1 + 1\cdot(-2) + (-2)\cdot0 = 0 -2 + 0 = -2.
  • Entrada (AB)_{23}: 0\cdot(-2) + 1\cdot1 + (-2)\cdot2 = 0 +1 -4 = -3.
Segunda linha de AB é (2,\,-2,\,-3).
Linha 3 de A é (1,\,\tfrac{1}{2},\,3).
  • Entrada (AB)_{31}: 1\cdot1 + \tfrac{1}{2}\cdot0 + 3\cdot(-1) = 1 + 0 -3 = -2.
  • Entrada (AB)_{32}: 1\cdot1 + \tfrac{1}{2}\cdot(-2) + 3\cdot0 = 1 -1 + 0 = 0.
  • Entrada (AB)_{33}: 1\cdot(-2) + \tfrac{1}{2}\cdot1 + 3\cdot2 = -2 + \tfrac{1}{2} + 6 = 4 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{9}{2}.
Terceira linha de AB é (-2,\,0,\,\tfrac{9}{2}).
Juntando:
AB=\begin{pmatrix} 2 & 6 & -5 \\[4pt] 2 & -2 & -3 \\[4pt] -2 & 0 & \dfrac{9}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo de BA.
Linha 1 de B é (1,\,1,\,-2).
  • Entrada (BA)_{11}: 1\cdot4 + 1\cdot0 + (-2)\cdot1 = 4 + 0 -2 = 2.
  • Entrada (BA)_{12}: 1\cdot(-1) + 1\cdot1 + (-2)\cdot\dfrac{1}{2} = -1 +1 -1 = -1.
  • Entrada (BA)_{13}: 1\cdot2 + 1\cdot(-2) + (-2)\cdot3 = 2 -2 -6 = -6.
Primeira linha de BA é (2,\,-1,\,-6).
Linha 2 de B é (0,\,-2,\,1).
  • Entrada (BA)_{21}: 0\cdot4 + (-2)\cdot0 + 1\cdot1 = 0 + 0 +1 = 1.
  • Entrada (BA)_{22}: 0\cdot(-1) + (-2)\cdot1 + 1\cdot\dfrac{1}{2} = 0 -2 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{3}{2}.
  • Entrada (BA)_{23}: 0\cdot2 + (-2)\cdot(-2) + 1\cdot3 = 0 +4 +3 = 7.
Segunda linha de BA é (1,\,-\tfrac{3}{2},\,7).
Linha 3 de B é (-1,\,0,\,2).
  • Entrada (BA)_{31}: (-1)\cdot4 + 0\cdot0 + 2\cdot1 = -4 + 0 +2 = -2.
  • Entrada (BA)_{32}: (-1)\cdot(-1) + 0\cdot1 + 2\cdot\dfrac{1}{2} = 1 + 0 +1 = 2.
  • Entrada (BA)_{33}: (-1)\cdot2 + 0\cdot(-2) + 2\cdot3 = -2 + 0 +6 = 4.
Terceira linha de BA é (-2,\,2,\,4).
Juntando:
BA=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -6 \\[4pt] 1 & -\dfrac{3}{2} & 7 \\[4pt] -2 & 2 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Comparação: para que AB=BA todas as entradas correspondentes devem ser iguais. Observe que, por exemplo,
(AB)_{12}=6\quad\text{enquanto}\quad(BA)_{12}=-1,
e também
(AB)_{23}=-3\quad\text{enquanto}\quad(BA)_{23}=7.
Como existem entradas diferentes, concluímos que as matrizes não comutam: AB\neq BA.

Passo 6

Comentário didático rápido e motivador: é comum em Álgebra Linear que a multiplicação de matrizes não seja comutativa — isto é, em geral AB\neq BA. Matrizes especiais (por exemplo, matrizes escalares, a identidade, ou pares que partilham bases próprias compatíveis) podem comutar, mas a regra geral é que não se deve esperar comutatividade. Tu já fez o passo essencial para provar que não comutam: calculaste AB e BA e comparaste entrada a entrada. Bom trabalho — seguir essas contas passo a passo é exatamente o que pedem na prova!

Resposta

AB \neq BA

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